Definimos a esfera de Riemann \(\overline{\mathbb{C}}\) como sendo o plano complexo estendido com um ponto no infinito, i.e. \(\overline{\mathbb{C}} := \mathbb{C}\cup\{\infty\}\), onde as vizinhanças de \(\infty\) são, por definição, complementos de conjuntos compactos do plano. Podemos visualizar este espaço como uma esfera através da projeção estereográfica \(\pi: \overline{\mathbb{C}}\to \mathbb{S}^2\), definida por \(\pi(\infty) = (0,0,1) := \mathbf{N}\) (o polo norte da esfera) e \(\pi(z) := x\), onde \(x\) é o único ponto da esfera pertencente ao segmento de reta que liga o polo norte ao ponto \(z \in \mathbb{C}\) (aqui, identificamos o plano complexo com o plano \(\{z = 0\}\) em \(\mathbb{R}^3\)); veja a figura abaixo:

Explicitamente, temos \[ \pi(z) = \left( \frac{2z}{1 + |z|^2}, \frac{-1 + |z|^2}{1 + |z|^2} \right) \] onde a primeira entrada é um ponto em \(\mathbb{C} = \mathbb{R}^2\) (ou seja, codifica as duas primeiras coordenadas desse ponto). Com essa identificação, podemos dotar a esfera de Riemann de uma estrutura de espaço métrico, e temos duas opções naturais de métrica (ambas equivalentes): a métrica cordal \(d_1\), obtida da distância euclidiana entre pontos de \(\mathbb{S}^2 \subset \mathbb{R}^3\); e a métrica esférica \(d_2\), obtida do comprimento de grandes círculos na esfera. Dessa forma, temos, para \(z, w \in \mathbb{C}\), \[ d_1(z, w) = \frac{2|z - w|}{\sqrt{1 + |z|^2}\sqrt{1 + |w|^2}} \ \text{ e } \ d_2(z, w) = \arccos\left( \frac{1 - |z - w|^2 + |z|^2|w|^2}{(1 + |z|^2)(1 + |w|^2)} \right) \] e, tomando \(w \to \infty\), também temos \[ d_1(z, \infty) = \frac{2}{\sqrt{1 + |z|^2}} \ \text{ e } \ d_2(z, \infty) = \arccos\left( \frac{-1 + |z|^2}{1 + |z|^2} \right) \]

Além da estrutura de espaço métrico, podemos também dotar a esfera de Riemann com uma estrutura complexa (fazendo dela uma superfície de Riemann). Pondo \(U_1 := \mathbb{C}\) e \(U_2 := \overline{\mathbb{C}}\setminus \{0\}\), definimos as cartas \[ \begin{matrix} \phi_1: U_1 & \to \mathbb{C} & & \phi_2: U_2 & \to \mathbb{C} \\ z & \mapsto z & & z & \mapsto \frac{1}{z} \end{matrix} \]