Definimos a esfera de Riemann $\overline{\mathbb{C}}$ como sendo o plano complexo estendido com um ponto no infinito, i.e. $\overline{\mathbb{C}} := \mathbb{C}\cup\{\infty\}$, onde as vizinhanças de $\infty$ são, por definição, complementos de conjuntos compactos do plano. Podemos visualizar este espaço como uma esfera através da projeção estereográfica $\pi: \overline{\mathbb{C}}\to \mathbb{S}^2$, definida por $\pi(\infty) = (0,0,1) := \mathbf{N}$ (o polo norte da esfera) e $\pi(z) := x$, onde $x$ é o único ponto da esfera pertencente ao segmento de reta que liga o polo norte ao ponto $z \in \mathbb{C}$ (aqui, identificamos o plano complexo com o plano $\{z = 0\}$ em $\mathbb{R}^3$); veja a figura abaixo:

Explicitamente, temos $$\pi(z) = \left( \frac{2z}{1 + |z|^2}, \frac{-1 + |z|^2}{1 + |z|^2} \right)$$ onde a primeira entrada é um ponto em $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ (ou seja, codifica as duas primeiras coordenadas desse ponto). Com essa identificação, podemos dotar a esfera de Riemann de uma estrutura de espaço métrico, e temos duas opções naturais de métrica (ambas equivalentes): a métrica cordal $d_1$, obtida da distância euclidiana entre pontos de $\mathbb{S}^2 \subset \mathbb{R}^3$; e a métrica esférica $d_2$, obtida do comprimento de grandes círculos na esfera. Dessa forma, temos, para $z, w \in \mathbb{C}$, $$d_1(z, w) = \frac{2|z - w|}{\sqrt{1 + |z|^2}\sqrt{1 + |w|^2}} \ \text{ e } \ d_2(z, w) = \arccos\left( \frac{1 - |z - w|^2 + |z|^2|w|^2}{(1 + |z|^2)(1 + |w|^2)} \right)$$ e, tomando $w \to \infty$, também temos $$d_1(z, \infty) = \frac{2}{\sqrt{1 + |z|^2}} \ \text{ e } \ d_2(z, \infty) = \arccos\left( \frac{-1 + |z|^2}{1 + |z|^2} \right)$$

Além da estrutura de espaço métrico, podemos também dotar a esfera de Riemann com uma estrutura complexa (fazendo dela uma superfície de Riemann). Pondo $U_1 := \mathbb{C}$ e $U_2 := \overline{\mathbb{C}}\setminus \{0\}$, definimos as cartas $$\begin{matrix} \phi_1: & U_1 \to \mathbb{C} & & \phi_2: & U_2 \to \mathbb{C} \\ & z \mapsto z & & & z \mapsto \frac{1}{z} \end{matrix}$$ Note que, para $z \in U_1\cap U_2 = \mathbb{C}\setminus\{0\}$, os mapas de transição $\phi_1^{-1}\circ \phi_2(z) = 1/z$ e $\phi_2\circ \phi_1^{-1}(z) = 1/z$ são holomorfos, definindo assim uma estrutura complexa em $\overline{\mathbb{C}}$. Essa estrutura nos permite falar então de funções holomorfas $f:\overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$. Isto se traduz no seguinte: $f$ é holomorfa em $z_0 \in \overline{\mathbb{C}}$ se

1. (Caso $z_0, f(z_0) \in \mathbb{C}$): é holomorfa em $z_0$ so sentido usual;
2. (Caso $z_0 \in \mathbb{C}$ e $f(z_0) = \infty$): a função $z \mapsto 1/f(z)$ é holomorfa em $z_0$ no sentido usual;
3. (Caso $z_0 = \infty$ e $f(z_0) \in \mathbb{C}$): a função $z \mapsto f(1/z)$ é holomorfa em $0$ no sentido usual;
4. (Caso $z_0 = f(z_0) = \infty$): a função $z \mapsto 1/f(1/z)$ é holomorfa em $0$ no sentido usual.

Temos uma simples caracterização dos mapas holomorfos da esfera de Riemann nela mesma:

Teorema 1: Um mapa $f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ é holomorfo se e somente se é racional, i.e. $f(z) = P(z)/Q(z)$ para polinômios $P, Q$.

Demonstração: Por um lado, se $f$ é racional, claramente é holomorfa, pelos critérios da seção anterior. Por outro, se $f$ é holomorfa, podemos assumir que $f(\infty) = \infty$; de fato, se $f(\infty) = z_0$, basta trocarmos $f$ por $z \mapsto 1/(f(z) - z_0)$, e essa nova função é racional se e só se $f$ também o é. Desta forma, podemos restringir ao plano $f|_{\mathbb{C}}: \mathbb{C} \to \overline{\mathbb{C}}$ e temos uma quantidade finita de pólos (pelo Princípio da Identidade), digamos $z_1, \dots, z_k$. Usando a estrutura complexa da esfera de Riemann, vemos que existem inteiros $m_1, \dots, m_k \geq 1$ tais que a função $$z \mapsto (z - z_i)^{m_i}f(z)$$ não tem polo perto de $z_i$, para todo $i = 1, \dots, k$. Definindo $$Q(z) := \prod_{i=1}^k{ (z - z_i)^{m_i} }$$ a função $P(z) := Q(z)f(z)$ é holomorfa do plano no plano — i.e. inteira. Além disso, colocando $P(\infty) = \infty$, temos uma extensão de $P$ para a esfera. Pela estrutura complexa, isso significa que o mapa $1/P(1/z)$ é holomorfo em torno de $0$, e que manda $0$ em $0$; em particular, $1/P(1/z) = z^dh(z)$ perto de $0$, onde $d \geq 1$ e $h$ é holomorfa e não se anula. Portanto, para $z$ “perto de infinito” (i.e. grande o suficiente), vale que $$P(z) = \frac{z^d}{h\left( \frac{1}{z} \right)} \implies |P(z)| \leq C|z|^d$$ para alguma constante $C > 0$ independente de $z$. Agora aplicamos o mesmo racioncínio do Teorema de Liouville: tomando $R > 0$ grande o suficiente e $C_R$ o círculo de raio $R$, temos $$|P^{(d+1)}(z)| = \left| \frac{(d+1)!}{2\pi i}\int_{C_R}{ \frac{P(\zeta)}{(\zeta - z)^{d+2}}d\zeta } \right| \leq \frac{(d+1)!}{2\pi}\frac{CR^d}{(R - |z|)^{d+2}}2\pi R \xrightarrow[R\to\infty]{} 0$$ e portanto $P^{(d+1)} \equiv 0$, o que implica que $P$ é um polinômio. Finalmente, isto nos conclui que $f(z) = P(z)/Q(z)$, como queríamos demonstrar.

Um automorfismo de um aberto $U \subseteq \overline{\mathbb{C}}$ é um mapa holomorfo invertível $\phi: U \to U$. Com o resultado anterior, podemos facilmente classificar os automorfismos da esfera.

Teorema 2: Um mapa $\phi: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ é um automorfismo se e só se é da forma $$\phi(z) = \frac{az + b}{cz + d}$$ com $ad - bc \neq 0$.

Demonstração: Sabemos que um mapa holomorfo da esfera nela mesma é racional, e podemos escrever $\phi(z) = P(z)/Q(z)$. Como os zeros de $\phi$ são os zeros de $P$ e os pólos de $\phi$ são os zeros de $Q$, necessariamente $\deg P \leq 1$ e $\deg Q \leq 1$ (caso contrário, o mapa não seria invertível); note que é possível o grau de um desses polinômios ser $0$, como no caso de $\phi(z) = 1/z$, por exemplo. Escrevemos então $$\phi(z) = \frac{az + b}{cz + d}$$ com $a, b, c, d \in \mathbb{C}$. Para entender a condição nos coeficientes, primeiro vemos que um mapa dessa forma pode ser visto como uma ação de $M_2(\mathbb{C})$, espaço de matrizes $2\times 2$ a coeficientes complexos na esfera; de fato, se pomos $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot z := \frac{az + b}{cz + d}$$ podemos verificar que $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot\left[ \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}\cdot z \right] = \left[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} \right]\cdot z \ \ \text{ e } \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot z = z.$$ Dessa forma, $\phi$ é invertível se e só se a matriz que o representa em $M_2(\mathbb{C})$ é invertível, o que ocorre se e só se seu determinante é diferente de $0$.

Verificamos assim que os automorfismos de $\overline{\mathbb{C}}$ são representados por matrizes em $GL_2(\mathbb{C})$; note que a ação de uma matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ coincide com a ação da matriz $\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{pmatrix}$ para qualquer $\lambda \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$, e portanto podemos sempre assumir que o representante está no grupo $SL_2(\mathbb{C})$, de matrizes com determinante $1$. Como ainda vale que as ações de $\text{Id}$ e $-\text{Id}$ coincidem, temos que o grupo de automorfismos de $\overline{\mathbb{C}}$ é dado por $$\text{Aut}(\overline{\mathbb{C}}) = \frac{SL_2(\mathbb{C})}{\{\text{Id} = -\text{Id}\}} = PSL_2(\mathbb{C}).$$ Os mapas de $PSL_2(\mathbb{C})$ são chamados de transformações de Möbius.

Temos duas importantes propriedades de transformações de Möbius:

Proposição 1: Transformações de Möbius levam círculos em círculos.

Note que estamos falando de círculos na esfera de Riemann; por exemplo, o mapa $h(z) = i(1 + z)/(1 - z)$ manda o círculo unitário $\mathbb{S^1}$ na reta real estendida $\mathbb{R}\cup \{\infty\}$.

Proposição 2: Dadas duas triplas de pontos $(a_0, a_1, a_\infty)$ e $(b_0, b_1, b_\infty)$, existe uma única transformação de Möbius $\phi$ com $$\phi(a_0) = b_0 \quad \quad \phi(a_1) = b_1 \quad \quad \phi(a_\infty) = a_\infty.$$

Demonstração: Para a existência, basta construir uma transformação de Möbius com $T(a_0) = 0, T(a_1) = 1, T(a_\infty) = \infty$. Podemos então tomar $$T(z) := \frac{a_1 - a_\infty}{a_1 - a_0}\frac{z - a_0}{z - a_\infty}.$$ Para a unicidade, basta provarmos que uma transformação de Möbius que fixa $0, 1$ e $\infty$ é a identidade. De fato, se temos $T(z) = (az + b)/(cz + d)$, então

1. $T(0) = 0 \iff b = 0$;
2. $T(\infty) = \infty \iff c = 0$;
3. $T(1) = 1 \iff a + b = c + d \implies a = d$.

Dessa forma, a matriz associada a $T$ é um múltiplo da identidade, o que em $PSL_2(\mathbb{C})$ significa que ela está na mesma classe de equivalência da identidade, concluindo que $T(z) = z$.