Seja $U \subseteq \mathbb{C}$ um conjunto aberto não-vazio. Uma função $f: U \to \mathbb{C}$ é dita holomorfa, ou $\mathbb{C}$-derivável, se o seguinte limite existe para todo $z \in U$: $$\lim_{h \to 0}\dfrac{f(z+h) - f(z)}{h} =: f'(z).$$

O valor $f'(z)$ é a derivada (complexa) de $f$. Escrevendo $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$, a condição de holomorfia é equivalente a $f$ possuir derivada total, considerando-a como função de $\mathbb{R}^2$ para $\mathbb{R}^2$, e $u, v$ satisfazerem às equações de Cauchy-Riemann: $$\dfrac{\partial u}{\partial x}(a) = \dfrac{\partial v}{\partial y}(a), \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}(a) = -\dfrac{\partial v}{\partial x}(a).$$

Analogamente à derivabilidade no caso real, funções holomorfas respeitam as regras usuais de soma, produto e composição, mesmo com pré-composição de curvas deriváveis $\alpha : (a,b) \to \mathbb{C}$.

Funções holomorfas possuem inúmeras propriedades desejáveis comparadas a funções diferenciáveis, ou mesmo suaves, na reta real. Isto é consequência de uma interação mais intrínseca entre o cálculo integral e diferencial em $\mathbb{C}$.

Uma função $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ é dita (Riemann-)integrável se $\mathrm{Re} f$ e $\mathrm{Im}f$ são (Riemann-)integráveis, e define-se sua integral por $$\int_a^b f(t)dt := \left( \int_a^b \mathrm{Re}f(t)dt \right) + i \left( \int_a^b \mathrm{Im}f(t)dt \right).$$

Com isto, pode-se definir a integral de linha de uma função holomorfa $f: U \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ sobre uma curva suave $\alpha: [a,b] \to \mathbb{C}$ com imagem em $U$: $$\int_{\alpha} f(z)dz := \int_a^b f(\alpha(t)) \alpha'(t) dt.$$

Podemos considerar também curvas suaves por partes, definindo a integral como a soma em cada parte suave. Uma consequência desta definição é que, se $f$ admite uma primitiva em $U$ (ou seja, existe função $g : U \to \mathbb{C}$ tal que $g' = f$), então o valor de integrais de linha de $f$ em $U$ independe da curva $\alpha$ entre dois pontos $z_0, z_1 \in U$, pois $$\int_{\alpha}f(z)dz = \int_a^b g'(\alpha(t))\alpha'(t)dt = \int_a^b (g \circ \alpha)'(t) dt = g(\alpha(b)) - g(\alpha(a)) = g(z_1) - g(z_0).$$

De fato, para uma função contínua $f : U \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $U \neq \emptyset$ aberto, a condição da integral de linha de $f$ sobre curvas em $U$ depender apenas dos pontos de início e fim é equivalente a $f$ admitir primitiva em $U$, como pode ser visto fixando $z_0 \in U$ e definindo $$g(z) := \int_{z_0}^z f(\zeta) d\zeta.$$

De importância à Análise Complexa são os domínios estrelados (ou, mais geralmente, domínios simplesmente conexos), isto é, abertos conexos $D \subseteq \mathbb{C}$ tais que existe $z_0 \in D$ tal que, para todo $z \in D$, o segmento de reta ligando $z_0$ a $z$ está contido em $D$.

Teorema (Cauchy): Se $f : D \to \mathbb{C}$ é holomorfa, com $D$ domínio estrelado, então $f$ admite primitiva em $D$, ou equivalentemente, toda integral de linha de $f$ sobre uma curva fechada em $D$ é nula.

O teorema de Cauchy tem a seguinte forma generalizada, fortemente relacionando cálculo integral e diferencial em $\mathbb{C}$:

Teorema (Fórmula Integral de Cauchy): Seja $U \subseteq \mathbb{C}$ aberto não-vazio, e $f: U \to \mathbb{C}$ holomorfa. Suponha que o disco fechado $\overline{D}(z_0, r)$ está totalmente contido em $U$. Então, para todo $z \in D(z_0, r)$ no interior do disco, vale $$f(z) = \dfrac{1}{2 \pi i}\int_{\alpha} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta,$$ onde $\alpha(t) = z_0 + re^{it}$ para $t \in [0, 2\pi]$ parametriza a fronteira do disco fechado $\overline{D}(z_0,r)$.

Ou seja, é possível recuperar valores de $f$ a partir de apenas seus valores numa curva fechada ao redor do ponto. Aplicando a fórmula de Leibniz de derivação sob o sinal da integração, demonstra-se que toda função holomorfa é infinitamente derivável, com todas as derivadas holomorfas, descritas pela fórmula $$f^{(n)}(z) = \dfrac{n!}{2 \pi i}\int_{\alpha}\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}} d\zeta,$$ nas condições da fórmula integral de Cauchy. Ela permite ainda concluir que toda função holomorfa é analítica, podendo ser escrita localmente numa vizinhança de cada ponto como uma série de potências $$f(z) = \sum_{n = 0}^{ \infty } a_n (z-z_0)^n = a_0 + a_1 (z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + \ldots, \quad a_n = \dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$$

A fórmula integral de Cauchy e a analiticidade de funções holomorfas têm consequências importantes e extensas para a teoria de análise complexa, evidenciando as propriedades especiais que funções holomorfas compartilham e que tornam seu estudo algo muito regular. Para o seguinte teorema, uma função holomorfa $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ é dita inteira.

Teorema (Liouville): Toda função inteira limitada é constante.

Uma demonstração é prontamente obtida observando que, se $|f(z)| \leq M$, então para qualquer disco $\overline{D}(z,R)$ de raio suficientemente grande centrado em $z$, valerá $$|f'(z)| = \left| \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{\alpha} \dfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^2} d\zeta \right| \leq \dfrac{1}{2 \pi}2\pi R \dfrac{M}{R^2} \to 0,$$ com $R \to \infty$. Desta maneira, $f'$ é constante igual a $0$, de modo que $f$ é constante.

Teorema (Identidade): Se $f, g : U \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ são holomorfas em $U \neq \emptyset$ aberto conexo, e $f$ e $g$ coincidem num subconjunto que possui ponto de acumulação em $U$, então $f = g$. Equivalentemente, se $f : U \to \mathbb{C}$ é função holomorfa não constante igual a $0$, então o conjunto de seus zeros $\{ z \in U \mid f(z) = 0 \}$ é discreto em $U$.

É suficiente demonstrar a segunda afirmação; a ideia é que se existe ponto de acumulação destes zeros, todas suas derivadas neste ponto seriam nulas, e o conjunto $S = \{ z \in U \mid f^{(n)}(z) = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \}$ é “clopen” (i.e. aberto e fechado). De fato, se $w \in U$ é ponto de acumulação de sequência $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ em $U$ de zeros de $f$, então $f(w) = 0$. Mas então perto de $w$, $f$ tem forma $$f(z) = a_1(z-w) + a_2 (z-w)^2 + \ldots$$ e portanto $\dfrac{f(z)}{z-w} \to a_1$ com $z \to w$. Mas com $z_n \to w$, $\dfrac{f(z_n)}{z_n - w} = 0$, de modo que $a_1 = 0$. Desta maneira, $f$ localmente terá forma $f(z) = a_2(z-w)^2 + a_3(z-w)^3 + \ldots$, e repete-se o raciocínio com $\frac{f(z)}{(z-w)^2} \to a_2 = 0$. Indutivamente, $a_n = 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, ou seja, $f^{(n)}(w) = 0$, e então $S \neq \emptyset$. $S$ é fechado por ser interseção enumerável dos conjuntos de zeros de $f, f', f^{(2)}, \ldots$, e é aberto pois, para todo ponto $z \in S$, $f$ é constantemente nula em vizinhança de $z$, de modo que $S$ contém essa vizinhança.

Teorema: Funções holomorfas não constantes são abertas, ou seja, as imagens de conjuntos abertos são conjuntos abertos.

A demonstração é consequência da forma local de funções holomorfas; assumindo sem perda de generalidade $0$ no domínio e $f(0) = 0$, é suficiente mostrar que há vizinhança do $0$ na imagem. Pela analiticidade local, $$f(z) = a_n z^n + a_{n+1} z^{n+1} + \ldots = z^n (a_n + a_{n-1} z + \ldots) = z^n h(z),$$ para algum $n > 0$, onde $h$ é holomorfa, localmente definida em vizinhança do $0$, e $h(0) \neq 0$. É possível encontrar então localmente uma raiz $n$-ésima de $h$, encontrando primeiramente um ramo do logaritmo $\varphi$ de $h$, ou seja, tal que $h = \exp \circ \varphi$, e tomando $H(z) = \exp(\frac{1}{n}\varphi(z))$. O ramo do logaritmo pode ser encontrado tomando primitiva local de $h'/h$. Assim, $$f(z) = z^n h(z) = z^n H^n(z) = (z H(z))^n$$ localmente, com $H(0) \neq 0$. Como $g(z) := zH(z)$ é tal que $g'(z) \neq 0$, o teorema da função inversa em $\mathbb{R}^2$ garante a existência de inversa local, e por consequência mapeia vizinhança do $0$ em outra vizinhança do $0$, e a função $z \mapsto z^n$ também mapeia vizinhança do $0$ em outra.

Em particular, este resultado implica diretamente o Princípio do Máximo Módulo:

Teorema (Princípio do Máximo Módulo): Seja $U \subseteq \mathbb{C}$ aberto conexo, e $f : U \to \mathbb{C}$ holomorfa. Então se $|f|$ tem máximo em $z \in U$, $f$ é constante igual a $f(z)$.

Um último teorema importante para a consideração de automorfismos complexos do disco unitário $\mathbb{D} := D(0,1)$ é o seguinte:

Teorema (Schwarz): Seja $f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ holomorfa com $|f(z)| \leq 1$ para todo $z \in \mathbb{D}$, e $f(0) = 0$. Então, para todo $z \in \mathbb{D}$, vale $|f(z)| \leq |z|$ e $|f'(0)| \leq 1$. Ainda mais, se para algum $z \neq 0$ vale que $|f(z)| = |z|$, ou $|f'(0)| = 1$, então $f$ é da forma $f(z) = \lambda z$, para algum $\lambda \in \mathbb{C}$ com $|\lambda| = 1$.

A demonstração segue do fato de que poderemos escrever $f$ como $f(z) = zg(z)$, com $g : \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ holomorfa, e portanto $|g(z)| \leq \frac{1}{r}$, para todo $|z| = r < 1$. O princípio do Máximo Módulo implica que para todo $|z| \leq r$, valerá $|g(z)| \leq \frac{1}{r}$, e portanto tomando $r \to 1$, $|g(z)| \leq 1$. Note que para $z \neq 0$, $g(z) = \frac{f(z)}{z}$, e $g(0) = f'(0)$. O resultado assumindo igualdade em um dos casos é consequência natural do princípio do máximo módulo novamente, com $g$ constante igual a $\lambda$ em $\mathbb{D}$.