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Lembramos que um fluxo $\phi_t : M \rightarrow M$ gerado por um campo vetorial $X$ é Anosov quando $D \phi^t$ preserva a decomposição $TM = E^s \oplus \mathbb{R}X \oplus E^u$ e existe $T > 0$ tal que $$\|D\phi^T v^s\| < \frac{1}{2} < 2 < \|D\phi^T v^u\|$$ para todos os vetores unitários $v^s, v^u \in E^s, E^u.$

Pela teoria clássica temos folheações fortemente estável e instável $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ e saturando essas folheações por órbitas do fluxo obtermos duas outras folheações nvariantes (fracamente estável e fracamente instável).

Como já vimos anteriormente uma classe importante de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos é o conjunto de difeomorfismos tempo um (ou tempo $15$) de um fluxo de Anosov. Porém é possível imaginar que para alguma função não constante $\tau$, a discretização por tempo $\tau$ também seja parcialmente hiperbólico. Apesar de não estar claro que exatamente para quais funções $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$, o difeomorfismo $f(x):= \phi^{\tau(x)}(x)$ é parcialmente hiperbólico, temos muitos exemplos de tais difeomorfismos parcialmente hiperbólicos. Os difeomorfismos parcialmente hiperbólicos fluxos de Anosov discretizados são definidos “essencialmente” desta forma. Em seguida vamos definir fluxos de Anosov discretizados e sua generalização fluxo de Anosov colapsado.

Primeiramente vamos definir fluxos toplogcamente Anosov.

Seja $\phi^t : M \rightarrow M$ um fluxo contínuo gerado por um campo contínuo $X = \frac{\partial \phi_t}{\partial t}.$ O fluxo é topologicamente Anosov se preservar par de de folheações codimensão um $\mathcal{F}^{cs}, \mathcal{F}^{cu}$ e par de folheações $\mathcal{F}^s, \mathcal{F}^u$ satisfazendo:

1. para quaisquer $x, y$ na mesma folha estável forte $\mathcal{F}^{s},$ $d(\phi_t(x), \phi_{t}(y)) \rightarrow 0$ quando $t \rightarrow \infty$. Temos algo similar para folheação instável.
2. As folheações (dimensão 2) $\mathcal{F}^{cs},\mathcal{F}^{cu}$ são invariantes e topologicamente transversais.

Um difeomorfismo é chamado fluxo de Anosov discretizado se existir $\tau : M \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ tal que $f(x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Os difeormorfismos $C^1$ próximo a tempo um de fluxo de Anosov são fluxo de Anosov discretizado.

Sejam $\phi^t_1, \phi^t_2$ dois fluxos de Anosov topológico em $M$ e $N$ respectivamente. Dizemos que são equivalente orbital se existir homeomorfismo $\beta: M \rightarrow N$ que envia órbitas de $\phi^t_1$ a órbitas de $\phi^t_2$.

Um auto-equivalência $\beta$ de fluxo de Anosov $\phi^t$ é dita trivial, se existir uma função contínua $\tau$ tal que $\beta (x) = \phi^{\tau(x)}(x).$ Assim dizemos duas auto-equivalências $\alpha, \beta$ são da mesma classe, se $\beta \circ \alpha^{-1}$ é uma auto-equivalência trivial.

Um difeomorfismo $f: M \rightarrow M$ parcialmente hiperbólico é dito fluxo de Anosov colapsado, se existirem fluxo de Anosov topológico $\phi^t$, $h: M \rightarrow M$ contínua e homotópica a identidade e uma auto-equivalência $\beta: M \rightarrow M$ de $\phi^t$ tais que:

• $h$ é diferenciável ao longo das órbitas do fluxo $\phi^t$ e transforma espaço tangente das ´prbitas em fibrado central da $f$
• $h$ é uma semi-conjugação entre $\beta$ e $f$: $$f \circ h(x) = h \circ \beta(x).$$