Modelo álgebrico: Seja $\mathcal{G}$ um grupo de Lie, então definimos o conjunto das transformações afins $ Aff(\mathcal{G}) := \{ g \rightarrow \phi(g).g_0 : \phi \in Aut(\mathcal{G}) \}$

Se $\alpha_0 \in Aff(\mathcal{G})$ e $\Gamma \subset \mathcal{G}, \alpha_0 (\Gamma) \subset \Gamma$ tal que $\alpha_0 : \mathcal{G}/\Gamma \rightarrow \mathcal{G}/\Gamma$ é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico, $\alpha_0$ é chamado de um modlo álgebrico.

Seja $f: M \rightarrow M$ P.H e dinamicamente coerente. Então dizemos $f$ é conjugado por folhas a um modeo algérico se existe $\alpha_0$ algébrico e $H : M \rightarrow \mathcal{G}/\Gamma$ homeomorfismo que envia folhas centrais da $f$ as folhas centrais de $\alpha_0$ e: $$ H(\mathcal{F}^c(f(x), f) = \alpha_0 (\mathcal{F}^c( H(x), A)) $$

Um resumo de vários resultados provados (essencialmente Hammerlindl e Potrie) Teorema: Seja $f$ P.H dinamicamente coerente e $\pi_1(M)$ solúvel, então $f$ é conjugado por folhas a um difeomorfismo parcialmente hiperbólico e algébrico.

Toplogia de 3-Variedades e parcialmente hiperbólicos: Este é um assunto fascinante onde pesquisadores procuram entender a topologia das variedades que admitem parcialmente hiperbólicos em certas classes de isotopia.

Primeiramente lembramos alguns resultados usando teoria de folheações:

Componente de Reeb Se uma folheacão bi-dimensional dentro de uma 3-variedade tiver componente de Reeb, então qualquer folheação unidimensional e transversal a ela, tem uma folha fechada. O Teorema de Novikov prova uma recíproca: Se uma folheação bi-dimensional permitir uma curva fechada e contrátil e transversal, então tem componente de Reeb.

Se $f: M^3 \rightarrow M^3$ admite um parcialmente hiperbólico coerente então as folheações $\mathcal{F}^{cs}$ ou $\mathcal{F}^{cu}$ não admitem componente de Reeb.

Demonstração: Basta observar que a folheação $\mathcal{F}^u$ é uma folheação unidimensional e transversal a $\mathcal{F}^{cs}$ e portanto se essa ultima tivesse componente de Reeb, então $\mathcal{F}^u$ teria uma folha fechada que é absurdo. Lembrem que as folheações estável ou instável não podem admitir folha compacta. Pois se folheação estável admitir uma folha compacta, então seus iterados grandes seriam muito pequeno e dentro de uma caixa folheada teriamos contradição.

Portanto (usando existência de folheações bidimensionais a partir das folheações ramificadas pelo Burago-Ivanov) concluímos que:

Se $\pi_2(M) \neq 0$ ou $\pi_1(M)$ finito, ou mesmo $M$ for redutível então $M^3$ não admite difeomorfismo parcialmente hiperbólico.

1. É muito útil levantar todas as folheações invariantes de $f$ e analisar folheações no recobrimento universal $\tilde{M}$. Denotamos por $\mathcal{F}$ o levantamento da folheação da $\mathcal{F}.$ As folheações $\mathcal{F}^{cu}$ ou as obtidas a partir das folheações ramificadas, levantam a uma folheação por planos e concluímos que $\tilde{M}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}^3.$ (Teorema de Palmeira)

2. Outra propriedade importante é que as folhas de $\tilde{\mathcal{F}}^{cu}$ e $\mathcal{F}^u$ intersectam em apenas um ponto. De fato se tiver dois pontos de interseção achariamos um círculo transversal a uma folha $\tilde{\mathcal{F}}^{cu}$ e isto fornece uma curva retrátil transversal a $\mathcal{F}^{cu}$ que por sua vez implicaria existênci de componente de Reeb que é absurdo!

A proposição abaixo esclarece que se o grupo fundamental da variedade é pequeno (neste caos abeiano, portanto crescimento polinomial) então o difeomorfismos parcialmente hiperbólico tem que agir nõa trivial em nível de homotopia. Observe que temos variedades como fibrado unitário de superfície com curvatura negativa que permite difeomorfismo parcialmente hiperbólico isotópico a identidade!

Com parágrafo acima entendemos que cada vez mais complexo o grupo fundamental da variedade, teremos mais chance de ter parcialmente hiperbólico agindo trivial em nível de homotopia. Entretanto, se relaxarmos a condição de parcialmente hiperbólicos em apenas ter uma decomposição $TM = E^u \oplus E^{cs}$ não está claro quais variedade não permitem tais difeomorfismos. Por exemplo ainda não sabemos se

Proposição: Seja $f : \mathbb{T}^3 \rightarrow \mathbb{T}^3$ P.H. então $f_* \neq id$ onde $f_* : \pi_1(\mathbb{T}^3) \rightarrow \pi_1(\mathbb{T}^3).$

Observe que $f_*$ define uma transformação linear em $\mathbb{R}^3$ também. em particular pela proposicão acima (aplicado para $f$ e $f^{-1}$) concluímos que $f_*$ induz um automorfismo parcialmente hiperbólico em $\mathbb{R}^3.$

Demonstração : Assumimos por contradição que $f_* = id.$ Então existe um levantamento $\tilde{f} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $\sup_{x \in \mathbb{R}^3} |\tilde{f}(x) - x| < \infty.$ Isto implica que existe $c > 0$ tal que $\tilde{f}^n (B(x, r)) \subset B(\tilde{f}^n(x), r + nc)$ e observe que $$vol (B(\tilde{f}^n(x), r + nc)) = P(n)$$ onde $P(n)$ é um polinômio. Observe que aqui estamos usando uma jogada entre topologia e geometria: o grupo fundamental pequeno (crescimento polinomial) está relacionado com volume de bolas crescerem polinomial. Para ver um resultado mais geral veja Nota do Milnor

Seja $J \subset B(x, r) \cap \mathcal{\tilde{F}}^u$ uma placa de folha instável. Então $|\tilde{f}^n(J)| \sim e^{n \gamma}$ (comprimento na folha instável cresce exponencialmente!)