Modelo álgebrico: Seja $\mathcal{G}$ um grupo de Lie, então definimos o conjunto das transformações afins $Aff(\mathcal{G}) := \{ g \rightarrow \phi(g).g_0 : \phi \in Aut(\mathcal{G}) \}$

Se $\alpha_0 \in Aff(\mathcal{G})$ e $\Gamma \subset \mathcal{G}, \alpha_0 (\Gamma) \subset \Gamma$ tal que $\alpha_0 : \mathcal{G}/\Gamma \rightarrow \mathcal{G}/\Gamma$ é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico, $\alpha_0$ é chamado de um modlo álgebrico.

Seja $f: M \rightarrow M$ P.H e dinamicamente coerente. Então dizemos $f$ é conjugado por folhas a um modeo algérico se existe $\alpha_0$ algébrico e $H : M \rightarrow \mathcal{G}/\Gamma$ homeomorfismo que envia folhas centrais da $f$ as folhas centrais de $\alpha_0$ e: $$H(\mathcal{F}^c(f(x), f) = \alpha_0 (\mathcal{F}^c( H(x), A))$$

Um resumo de vários resultados provados (essencialmente Hammerlindl e Potrie) Teorema: Seja $f$ P.H dinamicamente coerente e $\pi_1(M)$ solúvel, então $f$ é conjugado por folhas a um difeomorfismo parcialmente hiperbólico e algébrico.

Toplogia de 3-Variedades e parcialmente hiperbólicos: Este é um assunto fascinante onde pesquisadores procuram entender a topologia das variedades que admitem parcialmente hiperbólicos em certas classes de isotopia.

Primeiramente lembramos alguns resultados usando teoria de folheações:

Componente de Reeb Se uma folheacão bi-dimensional dentro de uma 3-variedade tiver componente de Reeb, então qualquer folheação unidimensional e transversal a ela, tem uma folha fechada. O Teorema de Novikov prova uma recíproca: Se uma folheação bi-dimensional permitir uma curva fechada e contrátil e transversal, então tem componente de Reeb.

Se $f: M^3 \rightarrow M^3$ admite um parcialmente hiperbólico coerente então as folheações $\mathcal{F}^{cs}$ ou $\mathcal{F}^{cu}$ não admitem componente de Reeb.

Demonstração: Basta observar que a folheação $\mathcal{F}^u$ é uma folheação unidimensional e transversal a $\mathcal{F}^{cs}$ e portanto se essa ultima tivesse componente de Reeb, então $\mathcal{F}^u$ teria uma folha fechada que é absurdo. Lembrem que as folheações estável ou instável não podem admitir folha compacta. Pois se folheação estável admitir uma folha compacta, então seus iterados grandes seriam muito pequeno e dentro de uma caixa folheada teriamos contradição.

Portanto (usando existência de folheações bidimensionais a partir das folheações ramificadas pelo Burago-Ivanov) concluímos que:

Se $\pi_2(M) \neq 0$ ou $\pi_1(M)$ finito, ou mesmo $M$ for redutível então $M^3$ não admite difeomorfismo parcialmente hiperbólico.

1. É muito útil levantar todas as folheações invariantes de $f$ e analisar folheações no recobrimento universal $\tilde{M}$. Denotamos por $\mathcal{F}$ o levantamento da folheação da $\mathcal{F}.$ As folheações $\mathcal{F}^{cu}$ ou as obtidas a partir das folheações ramificadas, levantam a uma folheação por planos e concluímos que $\tilde{M}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}^3.$ (Teorema de Palmeira)

2. Outra propriedade importante é que as folhas de $\tilde{\mathcal{F}}^{cu}$ e $\mathcal{F}^u$ intersectam em apenas um ponto. De fato se tiver dois pontos de interseção achariamos um círculo transversal a uma folha $\tilde{\mathcal{F}}^{cu}$ e isto fornece uma curva retrátil transversal a $\mathcal{F}^{cu}$ que por sua vez implicaria existênci de componente de Reeb que é absurdo!

A proposição abaixo esclarece que se o grupo fundamental da variedade é pequeno (neste caos abeiano, portanto crescimento polinomial) então o difeomorfismos parcialmente hiperbólico tem que agir nõa trivial em nível de homotopia. Observe que temos variedades como fibrado unitário de superfície com curvatura negativa que permite difeomorfismo parcialmente hiperbólico isotópico a identidade!

Com parágrafo acima entendemos que cada vez mais complexo o grupo fundamental da variedade, teremos mais chance de ter parcialmente hiperbólico agindo trivial em nível de homotopia. Entretanto, se relaxarmos a condição de parcialmente hiperbólicos em apenas ter uma decomposição $TM = E^u \oplus E^{cs}$ não está claro quais variedade não permitem tais difeomorfismos. Por exemplo ainda não sabemos se

Proposição: Seja $f : \mathbb{T}^3 \rightarrow \mathbb{T}^3$ P.H. então $f_* \neq id$ onde $f_* : \pi_1(\mathbb{T}^3) \rightarrow \pi_1(\mathbb{T}^3).$

Observe que $f_*$ define uma transformação linear em $\mathbb{R}^3$ também. em particular pela proposicão acima (aplicado para $f$ e $f^{-1}$) concluímos que $f_*$ induz um automorfismo parcialmente hiperbólico em $\mathbb{R}^3.$

Demonstração : Assumimos por contradição que $f_* = id.$ Então existe um levantamento $\tilde{f} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $\sup_{x \in \mathbb{R}^3} |\tilde{f}(x) - x| < \infty.$ Isto implica que existe $c > 0$ tal que $\tilde{f}^n (B(x, r)) \subset B(\tilde{f}^n(x), r + nc)$ e observe que $$vol (B(\tilde{f}^n(x), r + nc)) = P(n)$$ onde $P(n)$ é um polinômio. Observe que aqui estamos usando uma jogada entre topologia e geometria: o grupo fundamental pequeno (crescimento polinomial) está relacionado com volume de bolas crescerem polinomial. Para ver um resultado mais geral veja Nota do Milnor

Seja $J \subset B(x, r) \cap \mathcal{\tilde{F}}^u$ uma placa de folha instável. Então $|\tilde{f}^n(J)| \sim e^{n \gamma}$ (comprimento na folha instável cresce exponencialmente!) Portanto podemos achar retornos muito proximos da curva instável no recobrimento universal, que é impossível.(veja propriedade 2 acima)

Lembrando que se $f$ for tempo um de fluxo de Anosov em $M^3$ então $f$ é isotópico a identidade. Entretanto sabemos que $\pi_1(M^3)$ tem que ter crescimento exponencial.(Margulis, Plante-Thurston)

De fato vale um resultado mais forte:

Teorema (Burago-Ivano e Parawani) Seja $f: M^3 \rightarrow M^3$ parcialmente hiperbólico tal que $\pi_1(M)$ tem crescimento polinomial, então (módulo recobrimento finito) $M$ é um fibrado por círculos sobre toro e $f_* : H^1(M, \mathbb{R}) \rightarrow H^1(M, \mathbb{R})$ e parcialmente hiperbólico.

Usando este resultado Hammerlindl-Potrie conseguiram classificar parcialmente hiperbólicos nestas variedades:

Teorema: Seja $f : M^3 \rightarrow M^3$ parcialmente hiperbólico tal que $\pi_1(M)$ tem crescimento polinomial (virtulmente nilpotente) e suponhamos que não existe superfície compacta tangente a $E^{cs}$ ou $E^{cu}$. Então, módulo recobrimento finito $f$ é conjugado por folhas centrais com um modelo algébrico.

a superfície compacta tangente a $E^{cs}$ ou $E^{cu}$ é vilã da historia de classificação. É o tal de Toro Anosov! De fato primeiramente observem que tal superfície compacta por possuir uma folhação sem singularidade tem que ser toro! Aqui precisamos mencionar um resultado chave no desenvolvimento da teoria:

Teorema (Hertz-Hertz-Ures) Suponhamos $f : M^3 \rightarrow M^3$ parcialmente hiperbólico e que existe uma superfície compacta tangente a $E^{cs}$. Então:

1. existe um $2-$toro periódico $T = f^k(T)$ tangente a $E^{cs}$
2. $f^k|_{T}$ é isotópico a um difeomorfismo Anosov e
3. módulo recobrimento finito $M$ é $\mathbb{T}^3$ ou variedade de suspensão de difeomorfismo de Anosov.

A ideia de construção de conjugação por folha com modelos algébricos nas variedades nil e sol é usar a geometria da variedade $M$ para entender $f_*$, a ação de $f$ no primeiro grupo de homologia (como fizemos no caso de $\mathbb{T}^3$) e achar um difeomorfismo algebrico $g$ tal que $g_*= f_*$. Ai, pelo fato de que $\tilde{M}$ é homeomorfo a $\mathbb{R}^3$ então pelos argumentos de topologia algébrica temos que $f$ e $g$ são homotópicos. Há de demonstrar que $g$ é parcialmente hiperbólico também. Finalmente precisamos achar $h: M \rightarrow M$ homeomorfismo que é a conjugação por folha e homotópico a ideintidade. Fazemos tudo no recobrimento universal $\tilde{M}$ e consideramos as folheações levantadas também. Em paticular precisamos ficar atento que $d(\tilde{h}, id|_{\tilde{M}}) < \infty.$ Vamos supor que já temos tal conjugação e obter algumas propriedades.

Uma observação chave e elementar: seja $\mathcal{L}$ uma folha de $\tilde{\mathcal{F}}^{cs}$ passando pelo ponto $\tilde{h}(p)$. Então $$\sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), \tilde{g}^k(L)) \leq \sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), h\tilde{f}^k(p)) < \infty.$$

Portanto para obter $\tilde{h}$ vamos buscar uma única folha que satisfaz $\sup_{k \in \mathbb{Z}} d(\tilde{f}^k(p), \tilde{g}^k(L)) < \infty.$ Se conseguir achar tal correspondência teremos uma função $H^{cs}$ que corresponde a cada ponto de $\tilde{M}$ uma única folha (da folheação $\tilde{A}^{cs}$) $H^{cs}(p)$. De forma similar achamos $H^{cu}.$ Além disto mostraremos que as folheas $\tilde{\mathcal{F}}^{cs}$ são fibras da função $H^{cs}$, similar para $H^{cu}$ e portanto $H : \tilde{M} \rightarrow \mathcal{A}^c$ é definida de forma natural: $H(x) :=H^{cs}(x) \cap H^{cu}(x)$. Precisamos ainda mostrar que existe $\tilde{h} : \tilde{M} \rightarrow M$ que $h(x) \in H(x)$ e que $H$ induz um homeomorfismo $h$ em $M$ também.