: A esfera $3-$dimensional $\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^4 : x^2 + y^2 + z^2 +w^2 =1 \}$ ou $\{ (z_1,z_2) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C} : |z_1|^1 +|z_2|^2 =1\}$ é um “grande exemplo” de $3-$variedades. /sabemos que a esfera é simplesmente conexa. Além disto toda esfera $S^2$ suave dentro de $S^3$ é bordo de uma bola $3-$dimensional.Observamos que interior de uma esfera mergulhado suavemente dentro da $S^3$ é bola e o exterior é simplemente conexa. Porém, se o mergulho não for suave e apenas topológico (caso de esfera chifruda (super antenada) de Alexaner) tem exterior não simplemente conexa.

A esfera $S^3$ pode ser obtida como colagem de dois toros sólidos ao longo de suas fronteiras (que é $\mathbb{T}^2$). Uma forma rápida (e sem graça!) de ver isto é considerar $V_1 = \{(z_1, z_2), |z_1| \leq |z_2|, |z_1|^2 + |z_2|^2 =1 \}$ e $V_2 = \{(z_1, z_2), |z_1| \leq |z_2|, |z_1|^2 + |z_2|^2 =1 \}$ e verificar que cada $V_i$ é um toro sólido $D^2 \times S^1$ e que $S^3$ é a união deles colados ao longo de toro $\mathbb{T}^2 = S^1 \times S^1.$

Outra forma bem mais elegante é colar meridianos de toro fronteira de toro sólido as longitudes de toro fronteira de outro toro solido e vice versa e enxergar $S^3$ com sua fibração de Hopf.

Resumidamente, folheamos o semi-plano $\{(x, y, z): x=0, y > 0\} \subset \mathbb{R}^3$ por uma família de círculos encaixados que convergem a reta $x=0, y=0$ e degeneram num ponto (círculo de raio zero). Considerem as superfícies de revolução dos círculos girando em torno de eixo $z$. Assim obteremos uma família de toros e um círculo (toro degenerado). Agora observem que $S^3$ pode ser obtida através de compactificação por um ponto de $\mathbb{R}^3$. Se acrescentamos um ponto infinito o eixo $z$ vira um círculo (que está entrelaçado com o círculo degeneraod anteriormente mencionado). Com um pouco de imaginação (e olhando para figura abaixo) podemos enxergar o $S^3$ como colagem de dois toros sólidos (um “horizontal” outro “vertical”) ao longo de um toro (uma daquelas superfícoes de revolução).

A esfera $S^3$ tem mais uma propriedade a revelar: ela é um grupo de Lie também: quatérnios de norma um. Entretanto a esfera não admite difeomorfismos parcialmente hiperbólicos….

Este exemplo é mais simples e é obtido por $\mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3$. Outra forma de falar é considerar um cubo e identificar os lados opostos por translação. Importante ressaltar que a translação é uma isometria na geometria euclideana. Precisamos observar que estamos quocientando por ação de isometrias de uma geometria. Essa ideia vai nos acompanhar no conhecimento de zoologico de $3-$variedades.

O toro $\mathbb{T}^3$ é um grupo de Lie abeliano e portanto essa variedade também natureza algébrica e difeomorfismos parcialmente hiperbólicos conhecidos são “algebricos”.

Em dimensão três além de $\mathbb{T}^3$ existe outro (único) grupo de Lie compacto nilpotente: Grupo de Heisenberg, que não é abeliano. Este grupo de Lie consiste em matrizes $3\times 3$: $$\begin{pmatrix} 1 & x & x\\ 0 & 1 & y\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ tais que $x, y, z \in \mathbb{R}$ com produto usual de matrices.

Vamos apresentar agora um modelo geométrico de nil-variedade: Quocientamos o grupo definida acima por lattice d ematrices com entradas inteiras. (compare com caso de toro $3-$dimensional porém não misturem) Novamente um domínio fundamental é o cúbo unitário. $$\{(x, y, z) \in \mathcal{H} : 0 \leq x, y, z \leq 1\}.$$

Agora vamos identificar faces opostos com algumas transformações específicas: Usando a multiplicação do grupo $$(1,0,0) . (x,y,z)= (x+1, y , y+z)$$ vamos identificar os lados esquerdos e direito de seguinte forma: $$(0, y, z) \sim (1, y, z+y).$$

(figura abaixo foi retirado do artigo de Potrie-Hammerlindl: Pointwise partial hyperbolicity in 3-dimensional nilmanifolds)

Enquanto o grupo fundamental de $\mathbb{T}^3$ é abeliano, o grupo fundamental de nilvariedade introduzida acima nõa é abeliano, porém é nilpotente. Uma propriedade em comum entre estes dois grupos é que ambos tem crescimento polinomial.

Existe uma outra forma de indentificar os lados opostos de cubo e obter uma variedade diferente. Em vez de usar translação, vamos considerar uma translação e depois rotação de $\frac{\pi}{2}$ para identificar a face de cima e baixo e identificamos outras faces com translação usaual para obter toro. Assim obteremos uma variedade de Seifert com uma folha singular que corresponde o centro do quadrado que é fixo pela rotação. Mais esfecificamente considere $\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \leq |x|, |y|, |z| \leq 1\}$ e vamos identificar $(x, y, 0) \sim (-y, x, 1)$ e duas identificações $(0, y, z) \sim (1, y, z)$ e $(x, 0, z) \sim (x, 1, z).$

Fibraçõa de Seifert: No exemplo acima, temos uma folheação por círculos “verticais” que não é uma fibração, justamente por causa de uma fibra (Fibra singular de Seifert) que corresponde ao ponto fixo da rotação no plano $xy$: A fibra $\{(0, 0, t), t \in [0, 1]\}$ com a identificação $(0, 0, 0) \sim (0, 0, 1)$ representa um círculo que está encurralado por círculos topológicos que dão quatro voltas em torno dele: rotação de ângulo $\pi/2$ tem período $4.$

Uma coisa em comum entre as três variedades acima é que todas as tries tem uma folheação por círculos.

Soma conexa de variedades: Dadas duas variedades $n$-dimensional $M_1, M_2$, retirando uma bola $n-$dimensional de cada uma e “colando” ao longo da fronteiras (esfera $S^{n-1}$) obtemos $M_1 \# M_2$.