Teorema: Seja $M^{3}$ uma variedade fechada admitindo um fluxo de Anosov. Então $\pi_1(M)$ tem crescimento exponencial.

Corolário: $S^3$ ou $\mathbb{T}^3$ não podem admitir fluxo de Anosov.

Demonstração (Seguindo nota de R. Potrie em Notices AMS): Um grupo $\Gamma$ finitamente gerado tem crescimento exponencial, se para algum conjunto gerador $F \subset \Gamma$ temos a seguinte propriedade:

A cardinalidade de conjunto de elementos do grupo que podem ser escritos como produto de no máximo $n$ elementos de $F \cup F^{-1}$ cresce exponencialmente com $n.$ Observe que essa noção não depende da escolha do conjunto gerador. Por exemplo o grupo livre gerado por $a, b$ tem crescimento exponencial: número de palavras diferentes com $n$ letras é exponencial.

Numa variedade compacta o grupo fundamental tem crescimento exponencial se somente se o volume de bolsa de raio $R$ em $\tilde{M}$ (recobrimento universal), cresce exponencialmente com $R$. Isto é, se $\pi : \tilde{M} \rightarrow M$ é a transformação de recobrimento e consideramos a métrica induzida pela $\pi$ então existem $x \in \tilde{M}, c, \delta > 0$ tais que $$ vol(B(x, R) > ce^{\delta R}. $$

Em geral o crescimento de volume das bolas no recobrimento universal é o mesmo que crescimento do grupo fundamental. Para isto basta cobrir a bola com imagens de um domínio fundamental compacto com volume finito pelas transformações deck. Por exemplo o grupo fundamental de $\mathbb{T}^2$ é abeliano e tem crescimento polinomial e podemos observar que no recobrimento universal $\mathbb{R}^2$ o volume das bolsas é comparada com $R^2.$