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calculo1:rumo

Aproximando valor de uma função usando aproximação linear dela, possui erro! Quantos erramos quando usamos aproximação linear? Existem aproximações de segundo grau? aproximações melhores?

Vamos começar pelas aproximaçõe smais grosseiras: Por exemplo para calcular 101 que tal usar apenas a continuidade da função aproximar o valor da função f(x)=x no ponto 101 com seu valor no ponto 100. Assim teremos

101=f(100+1)f(100)=10.

Bem, essa aproximação até pode ser satisfatória dependendo do problema.

Vamos usar a diferenciabilidade da função f e teorema do valor médio (TVM) para achar uma estimativa do erro. Pelo TVM, existe c(100,101) tal que

f(c)=101100101100

portanto o erro de aproximação é igual a 12c. Não sabemos o valor do c, porém temos estimativa c>100 e assim concluímos seguinte estimativa sobre erro de aproximação:

Erro de aproximação <12100=0,05. 

Agora vamos usar aproximação linear para calcular 101.

Lembrando que a prximação linear da função f ao redor do ponto x=a é dada por seguinte  função linear:

L(x)=f(a)+(xa)f(a).

Então, 101f(100)+(101100)12100=10,05.

O valor de 101 é aproximadamente 10,05. Como estimar o erro desta aproximação? Será que essa aproximação é melhor do que anterior? SIM.

Antes de responder rigorosamente, vamos olhar os gráficos de duas funções e suas aproximações lineares, supondo que a reta tangente no ponto A coincide. Assim a aproximação linear de f,g é a mesma função linear.

Podemos visualizar que aproximação linear é melhor no caso da  função f. Isto tem a ver com a segunda derivada no ponto x=a. Pense!

De fato temos:

Teorema: Seja f:SR diferenciável (duas vezes) num intervalo com ponto a no seu interior. Então, se a,a+h pertencem a este intervalo, existe c entre a+h,a tal que

f(a+h)(f(a)+f(a)h)=12f(c)h2.

isto é, o erro de aproximação linear é dada por 12f(c)h2.

Usando este teorema o erro de aproximação linear de 10110,05 é igual a 1214c3(101100)2=14c3

Novamente sabendo que c>100 concluímos que o valor absoluto do erro é menor do que 18000.

Para demonstrar o Teorema, vamos provar uma adaptação de Teorema de Rolle para segunda derivada e também uma adaptação do TVM para segunda derivada.

Teorema de Rolle adaptado: Seja f:IR uma função duas vezes diferenciável e a<bI tal que f(a)=f(b)=f(a)=0. Então existe c(a,b) tal que f(c)=0.

Demonstração: apenas aplicando duas vezes teorema de Rolle usual: Primeiramente achamos c1(a,b) tal que f(c1)=0 e agora novamente aplicando teorema de Rolle para função f, sendo que f(a)=f(c1)=0 concluímos que existe c(a,c1) tal que f(c)=0.

Teorema do valor médio adaptado para segunda derivada:

Seja f:IR uma função duas vezes diferenciável e a<bI. Então existe c(a,b) tal que

f(b)(f(a)+f(a)(ba))=12f(c)(ba)2.

Demonstração, usando Teorema de Rolle adaptado:

Primeiramente afirmamos que existe uma função poliomial de grau 2, ϕ tal que

f(a)=ϕ(a),f(b)=ϕ(b) e f(a)=ϕ(a).

Observe que se acharmos tal ϕ então se definirmos uma nova função g=fϕ temos

g(a)=g(b)=g(a)=0.

A demonstração da afirmação sobre existência de uma função como ϕ é um exercício ao cargo de leitor. Mostrem que existe

ϕ(x)=A+B(xa)+C(xa)2 onde

A=f(a),B=f(a) e C=f(b)(f(a)+f(a)(ba))(ba)2.

Finalmente, aplicando Teorema de Rolle adaptado para g=fϕ (observe que satisfaz as hipóteses) temos que existe c(a,b) tal que g(c)=0. Assim,

g(c)=f(c)2C=0 e portanto

f(c)=2f(b)(f(a)+f(a)(ba))(ba)2

que é exatamente o que queríamos provar.

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calculo1/rumo.txt · Last modified: 2022/06/13 10:06 by 127.0.0.1