Aproximando valor de uma função usando aproximação linear dela, possui erro! Quantos erramos quando usamos aproximação linear? Existem aproximações de segundo grau? aproximações melhores?
Vamos começar pelas aproximaçõe smais grosseiras: Por exemplo para calcular √101 que tal usar apenas a continuidade da função aproximar o valor da função f(x)=√x no ponto 101 com seu valor no ponto 100. Assim teremos
√101=f(100+1)∼f(100)=10.
Bem, essa aproximação até pode ser satisfatória dependendo do problema.
Vamos usar a diferenciabilidade da função f e teorema do valor médio (TVM) para achar uma estimativa do erro. Pelo TVM, existe c∈(100,101) tal que
f′(c)=√101−√100101−100
portanto o erro de aproximação é igual a 12√c. Não sabemos o valor do c, porém temos estimativa c>100 e assim concluímos seguinte estimativa sobre erro de aproximação:
Erro de aproximação <12√100=0,05.
Agora vamos usar aproximação linear para calcular √101.
Lembrando que a prximação linear da função f ao redor do ponto x=a é dada por seguinte função linear:
L(x)=f(a)+(x−a)f′(a).
Então, √101∼f(100)+(101−100)12√100=10,05.
O valor de √101 é aproximadamente 10,05. Como estimar o erro desta aproximação? Será que essa aproximação é melhor do que anterior? SIM.
Antes de responder rigorosamente, vamos olhar os gráficos de duas funções e suas aproximações lineares, supondo que a reta tangente no ponto A coincide. Assim a aproximação linear de f,g é a mesma função linear.
Podemos visualizar que aproximação linear é melhor no caso da função f. Isto tem a ver com a segunda derivada no ponto x=a. Pense!
De fato temos:
Teorema: Seja f:S→R diferenciável (duas vezes) num intervalo com ponto a no seu interior. Então, se a,a+h pertencem a este intervalo, existe c entre a+h,a tal que
f(a+h)−(f(a)+f′(a)h)=12f″(c)h2.
isto é, o erro de aproximação linear é dada por 12f″(c)h2.
Usando este teorema o erro de aproximação linear de √101∼10,05 é igual a 12−14√c3(101−100)2=−14√c3
Novamente sabendo que c>100 concluímos que o valor absoluto do erro é menor do que 18000.
Para demonstrar o Teorema, vamos provar uma adaptação de Teorema de Rolle para segunda derivada e também uma adaptação do TVM para segunda derivada.
Teorema de Rolle adaptado: Seja f:I→R uma função duas vezes diferenciável e a<b∈I tal que f(a)=f(b)=f′(a)=0. Então existe c∈(a,b) tal que f″(c)=0.
Demonstração: apenas aplicando duas vezes teorema de Rolle usual: Primeiramente achamos c1∈(a,b) tal que f′(c1)=0 e agora novamente aplicando teorema de Rolle para função f′, sendo que f′(a)=f′(c1)=0 concluímos que existe c∈(a,c1) tal que f″(c)=0.
Teorema do valor médio adaptado para segunda derivada:
Seja f:I→R uma função duas vezes diferenciável e a<b∈I. Então existe c∈(a,b) tal que
f(b)−(f(a)+f′(a)(b−a))=12f″(c)(b−a)2.
Demonstração, usando Teorema de Rolle adaptado:
Primeiramente afirmamos que existe uma função poliomial de grau 2, ϕ tal que
f(a)=ϕ(a),f(b)=ϕ(b) e f′(a)=ϕ′(a).
Observe que se acharmos tal ϕ então se definirmos uma nova função g=f−ϕ temos
g(a)=g(b)=g′(a)=0.
A demonstração da afirmação sobre existência de uma função como ϕ é um exercício ao cargo de leitor. Mostrem que existe
ϕ(x)=A+B(x−a)+C(x−a)2 onde
A=f(a),B=f′(a) e C=f(b)−(f(a)+f′(a)(b−a))(b−a)2.
Finalmente, aplicando Teorema de Rolle adaptado para g=f−ϕ (observe que satisfaz as hipóteses) temos que existe c∈(a,b) tal que g″(c)=0. Assim,
g″(c)=f″(c)−2C=0 e portanto
f″(c)=2f(b)−(f(a)+f′(a)(b−a))(b−a)2
que é exatamente o que queríamos provar.
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