Considerando o assunto de erro de aproximação, para um ponto $x \in Dom(f)$ (um ponto no domínio de f) dizemos que a função é contínua no ponto x (ou que tem estabilidade de computação no ponto x), se

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta >0$ tal que se $|x-y| \leq \delta$ entao $|f(x) - f(y)| \leq \epsilon$

Lembrem pela aula anterior que determinar o valor adequado de $\delta$ pode depender de x e $\epsilon$ e geralmente é uma tarefa árdua.

Vai ser difícil!? nem tanto!

Para mostrar a continuidade de uma função no futuro próximo vamos utilizar uma ferramenta que essencialmente é uma mistura de uso de álgebra e análise. De fato álgebra (como um aparelho massageador de expressõs e funções) vai colaborar para domesticar os monstros com ajuda de análise. Este é o processo de limite! antes de falar de limite de funções vamos mostrar como mais um exemplo, a continuidade de uma função trigonométrica.

Exemplo de continuidade:

Vamos mostrar que a função $f(x) = sen(x)$ é contínua em todos seu domínio.

Vamos falar um pouco de trigonometria. Lembramos que os ângulos serão identificados com números reais, considerando uma relação de equivalência, i.e, dois números cujos diferença é um múltiplo inteiro de $2 \pi$ são o mesmo ângulo. Lembramos também que estamos considerando a medida dos ângulos em radiano.

Vamos primeiro provar que $x \rightarrow sen(x)$ é contínua no ponto $x=0$. Já que $sen(0)=0$; precisamos provar que para todo $\epsilon >0$ existe um número $\delta >0$ tal que se $|\theta - 0| = |\theta| \leq \delta$ então $|sen(\theta) - sen(0)| = |sen(x) | \leq \epsilon.$

Para facilitar vamos considerar o círculo de raio 1 e assim $sen(\theta) = AH$. (apesar de que na figura está aparecendo 3!). Observe que a medida de ângulo em radiano é igual a proporção dos comprimentos do arco correspondente e o raio do círculo.

No triângulo retangular AHD, sabemos que AH < AD (hipotenusa é maior do que cateto) e o comprimento de AD é menor do que o do arco AD que pela definição é igual a $\theta.$

portanto $sen(\theta) < AH < AD < \theta.$ Veja $\theta$ considerado na figura (ângulo $DOA$).

é positivo e portanto $|sen(\theta)| = sen(\theta) < \theta$. Isto significa que basta tomarmos $\delta = \epsilon$ (a escolha de delta está em nossa mão e pode depender do $\epsilon$).

Se $\eta < 0$, o argumento será similar: O ângulo DOB = $\eta$ é negativo e $|sen(\eta)| = -sen(\eta) = KB < BD < |\eta|.$ Portanto novamente a escolha de $\delta = \epsilon$ funciona.

Agora vamos verificar a continuidade num ponto $\theta_0$ arbitrário. Precisamos mostrar que para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta >0$ tal que se $|\theta - \theta_0| \leq \delta$ então $|sen(\theta) - sen(\theta_0)| \leq \epsilon.$ Se escrevermos $\theta = \theta_0 + h$ temos

$sen(\theta) - sen(\theta_0) = sen(\theta_0) cos(h) + cos(\theta_0) sen(h) - sen(\theta_0 )$

$= sen(\theta_0)(cos(\theta_0)-1) + cos(\theta_0)sen(h)$

então $|sen(\theta) - sen(\theta_0)| \leq |sen(\theta_0)(cos(h) -1)| + |cos(\theta_0) sen(h)|$

agora, usamos seguintes estimativas:

$|sen(\theta_0)(cos(h) -1)| \leq |cos(h) -1|$ $|cos(\theta_0) sen(h)| \leq |sen(h)|$.

Podemos escolher $\delta > 0$ tal que se $h \leq \delta$ então $|cos(h) -1| \leq \epsilon/2.$ Isto pode ser demonstrado com um argumento geométrico como fizemos acima, para função coseno. De fato basta tomar $\delta = \epsilon/2.$

Pela continuidade no zero, a escolha adequada do $\delta$ implica que $|sen(h)| \leq \epsilon/2.$

Reunindo todas as conclusões acima:

$|sen(\theta) - sen(\theta_0)| \leq \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon.$

Limites:

A noção de limite e convergência (já estudamos para sequências) para funções vai ser uma ferramenta muito útil e mágica para averiguar a continuidade das funções. Além disto tem suas utilidades por si só.

Vamos discutir na próxima aula.