A partir de agora tratamos os números reais com tanta complexidade que oferecem, como apenas simples números que podem se somar, multiplicar e dividir ….Novamente vamos aceitar (ou fingir) que sabemos fazer essas operações com todos os números. Numa próxima aula veremos o que significa operação entre números, em particular os irracionais!

Assim que o cálculo é : As vezes vamos aprofundar o máximo possível e respeitar o rigor matemático e as vezes é necessário deixar do lado o rigor e curtir o cálculo!

Uma função é como uma maquina que alimenta um número real (input) e fornece outro número (output) usando alguma regra.

Domínio da função: São os números que a função aceita como input.

Por exemplo função $f(x)= \frac{1}{x}$ aceita qualquer número real exceto $x=0.$ Portanto o domínio é $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ que as vezes denotamos por $\mathbb{R}^*.$

Denotamos por $D(f)$ o domínio da função $f.$

A imagem da função $f$ é $\{y \in \mathbb{R}: \exists x , f(x) = y\}$, i.e. $f(D(f)) = \{f(x) : x \in D(f)\}.$

Função identidade: Essa função apesar de ser muito simples, tem uma colaboração fundamental.

$Id_S : S \rightarrow S$ e $Id_S(x) = x.$ Geralmente não escrevemos $Id_S$ e apenas escrevemos $Id.$

Pode parecer muito estranho definir uma função tão trivial. Para responder, apenas lembrem quão importante foi a introdução de número zero na teoria dos números.

Sejam $f : D(f) \rightarrow \mathbb{R}$ e $g: D(g) \rightarrow \mathbb{R}$ duas funções. Se $R(f) \cap D(g) \neq \emptyset$ então podemos definir uma outra função $h = g \circ f$ (composição de $g$ e $f$) de seguinte forma. Seja $D(h) = \{x \in D(f) : f(x) \in D(g)\}$,

$h = g \circ f : D(h) \rightarrow \mathbb{R},$ $g \circ f (x) = g(f(x)).$

As vezes podemos compor uma função com ela mesma. Por exemplo se $f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x}$ então $f\circ f, f\circ f\circ f, \cdots$ são funções reais. É fácil ver que $f\circ f \circ f \circ \cdots \circ f$, composição $n-$vezes resulta a função identidade de $D(f)$ se $n$ é par e caso $n$ ímpar a composição coincide com a $f$.

1. Funções linear e afim: A função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = kx + l$ onde $k, l \in \mathbb{R}$ é chamada de uma função afim e se $l =0$ chamamos de função linear.

Lembre que o gráfico de uma função afim sempre é uma reta cuja inclincação é $k$.

Uma propriedade importante de uma função linear é:

Observe que se $f(x)= kx + l, l \neq 0$ a equação acima não é válida. Porém quando $l=0$, ou seja $f$ é uma função linear, então temos a propriedade $f(x+y)=f(x)+f(y).$

Curiosidade: Se $f$ satisfizer $f(x+ y) = f(x) + f(y), \forall x, y \in \mathbb{R}$ podemos concluir que $f$ é linear? A resposta a essa pergunta em geral é negativa e precisamos de aprender mais tópicos (continuidade) para responder positivamente em alguns casos. Porém seguinte exercício é bom:

2. Função Polinomial: Em geral uma função polinômial de grau $n$ tem regra $p(x)= a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0.$ Por exemplo $P(x) = ax^2 + bx + c$ é uma função polinomial que é conhecida como função quadrática.

3. Funções racionais: Seja $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ onde $P, Q$ são dois polinômios em $x$. Então $f : D(f) \rightarrow \mathbb{R}$ é chamada de uma função racional. Observem que $D(f) = \{x \in \mathbb{R} : g(x) \neq 0\}.$

4. Função módulo ou valor absoluto: Uma outra função clássica é $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)= |x|.$ Pela definição $Im(f) = \mathbb{R}^{+}.$ Uma brincadeira interessante é tentar esboçar gráfico de funções com regras de tipo $f (x) = |x-a_1| + |x - a_2| + \cdots + |x - a_n|$ onde $a_i$'s são números reais e distintos. Verifique que o gráfico de tais funções tem $n$ “bicos”!

Exercício: Esboce o gráfico de $f(x) = ||x|-1|.$ Sem esboçar o gráfico pode imaginar quantos bicos o gráfico da função tem?

Seja $f$ uma função injetiva $f: D(f) \rightarrow R(f)$. Então a inversa da $f$ é denotada por $g = f^{-1} : R(f) \rightarrow D(f)$ e satisfaz

$f (g(y)) = y$ para todo $y \in R(f)$ e $g(f(x)) = x$ para qualquer $x \in D(f).$ De forma equivalente podemos escrever:

$f \circ g = Id_{R(f)}$ e $g \circ f = Id_{D(f)}$

Quando temos a expressão de uma função $f$, para achar a expressão da função inversa, precisamos resolver achar $x$ em termos de $y$ na equação $y = f(x).$

Considere $f(x) = \frac{1}{x}.$ É fácil ver que $D(f) = R(f) = \mathbb{R}^*$. Para achar a inversa desta função escrevemos

$y = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{y}$

e assim achamos o $x$ em termos de $y$ e portanto $f^{-1}(y) = \frac{1}{y}.$ Claro que podemos escrever $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}.$ Ou seja a inversa da $f$ coincide com ela mesma. $f^{-1} = f.$

Considere a função $f(x) = x^2.$ Novamente é fácil ver que $D(f) = \mathbb{R}$ e $R(f) = \mathbb{R}_{+} = \{t \in \mathbb{R} , t \geq 0\}.$

Existe um probleminha: a função não é injetiva. Portanto ela não tem inversa.

Que tal restringir essa função. A restrição de uma função em algum sub conjunto de seu domínio é mais uma ferramenta “trivial” e muito útil na matemática.

Seja $g : [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ e $g(x) = x^2.$

Então as “regras” das máquinas (funções) $f$ e $g$ são as mesmas. Elas pegam um número e levam ao quadrado. A diferrença é que, por alguma razão a máquina $g$ não gosta e não aceita números negativos!

Entretanto, a função $g$ é injetíva. Pois se $g(x) = g(y)$ então $x = \pm y$, e já que ambos $x, y$ sõa números positivos, concluímos que $x=y.$

Assim podemos definir a inversa da $g$ e chamamos de $g^{-1} : R(g) \rightarrow [0, \infty)$. Claro que $R(g) = [0, \infty).$

Para isto escrevemos $y = x^2$ e temos $x= \pm \sqrt{y}$ e tendo em mente que $x \geq 0$ teremos

$g^{-1}(y) = \sqrt{y}.$

Achar inversa de uma função (mesmo polinomiais) em geral não é uma tarefa fácil. As vezes não é possível achar uma expressão por operações básicas (multiplicar, dividir, pegar raíz, somar). Isto é pois precisamos resolver uma equação polinomial que as vezes pode não ter solução expressa por operações básicas (Curiosos: Teoria de Galois). Não se assustem! elas não são cobradas na prova de cálculo 1.