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Série de Taylor infinita:

Seja $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ para $x \in (-R, R).$ Então para todo $x_0 \in (-R, R)$ e $x$ tal que $|x-x_0| < R - |x_0|$ temos $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n. $$

Isto é uma série de potências em torno de ponto $x_0.$

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Uma função é analítica num domínio aberto $D$, se para qualquer $x_0 \in D$ existe uma vizinhança em torno de $x_0$, i.e $(x_0-r, x_0 +r)$ tal que para todo $x$ nesta vizinhaça temos:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n. $$

Observe que a função $f(x) = e^{-1/x}, x \neq 0$, $f(0)=0$ é uma função que é infinitamente diferenciável, porém não é analítica.

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