Provamos duas maravilhas de cálculo: Integração por partes e teorema de valor médio para integral.
Teorema de integração por partes: Sejam f,g:[a,b]→R diferenciável com derivada integrável. Então ∫bafg′=fg|ba−∫baf′g. Teorema Valor médio: Seja p:[0,1]→R uma função positiva (ou negativa) e integrável e f:[0,1]→R contínua. Então existe c∈[a,b] tal que ∫baf(x)p(x)dx=f(c)∫bap(x)dx.
Observe que p precisa uma função positiva (melhor dizendo, sem alterar sinal no intervalo [0,1]). Se p(x)=1,∀x∈[a,b] obteremos o teorema usual no cálculo 1.
Usando este teorema de valor médio concluímos o Taylor com resto de Lagrange.
Primeiramente mostramos que Teorema: Seja ϕ:[0,1]→R, n vezes diferenciávle com nésima derivada integrável. Então ϕ(1)=n−1∑i=0ϕ(i)(0)i!+∫10(1−t)n−1(n−1)!ϕ(n)(t)dt.
Prova do teorema acima é por indução e usando integração por partes. Agora apenas considere ϕ(t)=f(a+th) para provar teorema abaixo:
Teorema: Seja f:[a,a+h] diferenciável n vezes com derivada n esima contínua. Então f(a+h)=f(a)+hf′(a)+h2f(2)(a)2!+⋯+hn−1f(n−1)(a)(n−1)!+hn∫10(1−t)n−1(n−1)!f(n)(a+th)dt
Agora usando teorema acima e o teorema de valor médio nesta página para integral, concluímos:
Teorema (Taylor com resto de Lagrange): Seja f:[a,a+h] diferenciável n vezes com derivadas contínuas então existe 0≤θ≤1 tal que f(a+h)=f(a)+hf′(a)+h2f(2)(a)2!+⋯+hn−1f(n−1)(a)(n−1)!+hnf(n)(a+θh)n!
Achou a demonstração como magia? O Timothy Gowers também achou. Ele fez uma outra demonstração mais natural porém mais longa. Veja Blog do Gowers (ele foi Fields medalist)
Além disso, observem que sen(n)(0)=0 se n for par e sen(2n+1)(0)=(−1)n.
Aplicações
Devemos lembrar de uma aplicação simples do teorema de Taylor com resto de Lagrange que é critério de sinal da n ésima derivada num ponto crítico.
Seja f uma função n vezes diferenciável com n ésima derivada contínua num intervalo em torno de a e a um ponto crítico com f′(a)=f(2)(a)=⋯=f(n−1)(a)=0. então verifique se a é um ponto máximo ou mínimo local dependendo do sinal de f(n)(a). Claro que se f(n)(a)=0 não podemos afirmar nada usando este critério.
Solução: Se n for par, f(n)(a)>0 ponto a é mínimo local e se f(n)(a)<0 é um máximo local. Caso n for ímpar então a é um ponto de tipo sela.
Outra aplicação é para escrever série de Taylor infinita. Exemplo: Considere f(x)=sen(x) então sen(x)=∞∑n=0(−1)nx2n+1(2n+1)!.
Para provar tal afirmação, considere x>0 e observe que pelo Taylor com resto de Lagrange sen(x)=sen(0)+xcos(0)+⋯xnn!sen(n)(θ) para algum 0≤θ≤x. O resto de Lagrande é Rn=xnn!sen(n)(θ) e é claro que |Rn|≤|xnn!|→0,n→∞.
Exemplo clássico de uma função suave que não é real analítica:
Seja F(x)={e−1xx>00x≤0
Então pode se verificar que F(n)(0)=0 e portanto a série (infinita) de Taylor não pode convergir ao valor de F(x) para pontos x>0.
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