Simpsons e Fourier: 3c2xgVn6KCc

Teorema de Parseval:

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Lembramos que se $\{e^{inx}\}$ é um conjunto ortonormal enumerável. Vamos considerar funções periodicas de perído $2 \pi$. De fato basta considerarmos funções contínuas definidas em $[-\pi, \pi].$ Portanto pela aula anterior e usando produto $<f, g> = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f \bar{g} dx$ temos: $$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f - s_N|^2 dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f|^2 dx - \sum_{m=-N}^{N} |c_m|^2.$$ Em particular concluímos que $f \in L^2$ temos Desigualdade de Bessel: $$\sum_{m=-\infty}^{\infty} |c_m|^2 < \infty.$$ Na demonstração do teorema abaixo usamos também: $\|s_N (s)\|_2 \leq \|f\|_2$. Lembrando que $\|f\|_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2)^{1/2} dx$

Sejam $f, g : [-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ funções Rieman integráveis e $f(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}, g(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} \gamma_n e^{inx}$ respectivas séries de Fourier. Então:

1. $\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)- S_N(f, x)|^2 dx = 0.$
2. $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{g}(x) dx = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n \overline{\gamma}_n$
3. $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx = \sum_{-\infty}^{\infty} |c_n|^2.$

Observe que a terceira afirmação é consequência imediata da segunda, assumindo $f=g.$

Para primeira, primeiramente vamos aproximar uma função integrável por uma função contínua. Para facilitar vamos supor desde início que $f$ é contínua. Agora usamos teorema de Stone-Weierstrass considerando funções trigonométricos como uma álgebra de funções que separa e não anula. Isto é para qualquer $\epsilon > 0$ existe uma função de tipo $P:= \sum_{n=-N_0}^{N_0} d_m e^{inx}$ tal que $\| f- P\|_2 \leq \epsilon.$ Pelo resultado anterior, para qualquer $N \geq N_0$ $$\| f - S_{N}f\| \leq \| f - P\| \leq \epsilon/3 .$$ Por efeito, $P$ pode ser completado $P:= \sum_{n=-N}^{N} d_m e^{inx}$ apenas considerando $d_m = 0, |m| > N_0.$

Para completar a demonstração do teorema de Parseval, precismaos mostrar que dado uma função $f$ Riemann integrável, existe uma função contínua $g$ tal que $\|f-g\|_2 \leq \epsilon.$ (Exercício!) Assim podemos concluir que $$\|f - S_N f\| \leq \|f - g\| + \|g - S_N g \| + \|S_N g - S_N f \|$$ o último termos $\|S_N g - S_N f \| = \|S_N (g -f) \| \leq \|g -f\| \leq \epsilon/3.$ A primeira igualdade decorre da definição da $S_N$ e portanto é linear. A desigualdade foi mencionada acima (logo antes do enunciar o teorema). Essa desigualdade em termos de operadores significa que a norma de $S_N$ é menor do que um.

Comentário sobre Parseval e normas: Se considerarmos Serie de Fourier em formato real, i.e $\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k cos(kx) + b_k sen(kx)$ para uma função de periodo $2 \pi$ então precisamos considerar seguinte produto interno $$<f, g> = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx$$ e assim o conjunto $\{cos(kx), sen(kx), k \in \mathbb{N}\}$ forma um conjunto ortonormal. Observe que nesta norma $\|f\| = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx.$

Podemos verificar que se a função for de periodo $L =2l$ então podemos considerar seguinte série de Fourier $$\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k cos(k\pi x/l) + b_k sen(k\pi x/l)$$ e o produto interno $<f, g> = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) g(x) dx$ e neste produto o conjunto $\{cos(k\pi x/l), sen(k\pi x/l) , k \in \mathbb{N}\}$ é um conjunto ortonormal.