Consideramos $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ então varificamos a divergência da série para todo $x, |x| > R$ onde $R = \frac{1}{\limsup_{k \rightarrow \infty} (|c_k|^{1/k})}.$

O comportamento da série na fronteira , i.e $|x| = R$ é delicado. Demos exemplos onde na fronteira a série converge, diverge e em um dos pontos converge e em outro diverge.

Além disto provamos que toda série de potência é $C^{\infty}$ e $$f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} n(n-1)\cdots (n-k+1) c_{n-k} x^{n-k}$$ e portanto $c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}.$

WTqZTyAKASk