Função de Weierstrass: Vamos apresentar um exemplo de uma função que é contínua, porém não é diferenciável em nenhum ponto. A função desejada vai ser definida por uma serie convergente uniformemente (usando teste M de Weierstrass) e será contínua por ser limite uniforme de funções contínuas. Porém não tem derivada em nenhum ponto. Este detalhe de não ter derivada em nenhum ponto é delicado e precisa de uma demonstração minuciosa que apresentamos no video de uma forma sucinta e intuitiva.
Sabia que a “maioria” de funções contínuas são “patológicas” como função de Weierstrass?
Portanto é hora de rever o uso da palavra patológica!
Definição: Seja R⊂C0([a,b]) um subconjunto de espaço de funções contínuas munido com métrica vindo da norma supremo. R é chamado residual se R contém uma interseção enumerável de conjuntos abertos e densos.
Essa definição é para qualquer espaço topológico. Porém destacamos o seguinte resultado nos espaços métricos completos:
Teorema de Baire: Todo sub conjunto residual de um espaço métrico completo é um denso
E agora vem um choque de realidade:
(Banach-Mazurkiewicz) Existe um subconjunto residual W⊂C0([a,b]) tal que todo f∈W não é diferenciável em nenhum ponto de [a,b].
Para provar, suponhamos a=0,b=1, definimos En:={f∈C0([0,1]):∃x∈[0,1−1n]t.q∀h∈(0,1−x):|f(x+h)−f(x)h|≤n} Passos da prova:
- A. Toda função em C0([0,1])∖∪∞n=1En não é diferenciávle em nenhum ponto.
- B. Mostrar que C0([0,1])∖∪∞n=1En é residual.
Para demonstrar (B) usamos seguintes passos:
- C. Para todo n mostramos que En é fechado: Precisamos tomar uma sequência fk→f uniformemente e fk∈En e concluir que f∈En.
- D. Mostramos que En é nunca denso, i.e o fecho de En não contem nenhum aberto.
Para demonstrar que En é nunca denso utilizamos seguintes passos:
- E. P([0,1]), o conjunto de funções linear por pedaços contínuas é um conjunto denso em C0([0,1]).
- F. Para todo g∈P([0,1]) e ϵ>0 arbitrário existe h∈C0([0,1])∖En tal que ‖g−h‖C0≤ϵ.
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