QNPmV-1iikk Polinômios trigonométricos: Toda função escrita como: $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{m} a_n cos(nx) + b_n sin(nx)$$ onde $a_i, b_i$ são números complexos.

Lembrando que $$cos(x) = \frac{1}{2}(e^{inx} + e^{-inx}) , \, sin(x) = \frac{1}{2i} (e^{inx} - e^{-inx})$$

podemos reescrever $f(x) = \sum_{n=-m}^{m} c_n e^{inx}.$

Dadas $\phi, \psi$ funções complexas definidas no intervalo $[a, b]$ dizemos que elas são ortogonais se $$\int_{a}^{b} \phi \bar{\psi} dx =0.$$ Observe que toda função complexa $\phi$ se escreve como $\phi = \alpha(x) + i \beta(x)$ e com $\int_{a}^{b} \phi dx$ referimos $\int_{a}^{b} \alpha (x) dx + i \int_{a}^{b} \beta(x) dx.$

Uma sequeência de funções $\{ \phi_n\}, \phi_n: [a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ é dita ortonormal, se $$\int_{a}^{b} \phi_n \bar{\phi_m} dx = 0, n\neq m$$ (produto interno ser zero!) e a norma de cada uma das funções é um: $$\int_{a}^{b} |\phi_n(x)|^2 dx =1.$$

Teorema: Seja $\{\phi_n\}$ uma sequência ortonormal. Então os coeficitens de Fourier $c_n : = \int_{a}^{b} f(x) \bar{\phi_n}(x) dx$ são os melhores coeficientes para aproximação $L^2$ da função $f$ no espaço gerado por $\phi_n$'s. Isto siginifica, para quaisquer $\gamma_n \in \mathbb{C}$ e considerando: $$s_n(x) := \sum_{m=1}^{n} c_m \phi_m(x), t_n(x):= \sum_{m=1}^{n} \gamma_m \phi_m(x)$$ temos que $$\int_{a}^{b} |f-s_n|^2 dx \leq \int_{a}^{b} |f- t_n|^2 dx$$ e a igualdade ocorre se somente se $c_m = \gamma_m$ para $m=1, 2, \cdots, n.$

A demonstração é um cálculo:

Mostramos que $\int_{a}^{b} f \bar{t_n} = \int_{a}^{b} f \sum_{m=1}^{n} \bar{\gamma_m} \bar{\phi_m} = \sum_{m=1}^{n} \bar{\gamma_m} \bar{c_m} , \int_{a}^{b} |t_n|^2 = \sum_{m=1}^{n} | \gamma_{m}|^2.$

Após manipulações chegamos $$\int_{a}^{b} |f-t_n|^2 dx = \int_{a}^{b} |f|^2 dx -\sum_{m=1}^{n} |c_{m}|^2 + \sum_{m=1}^{n} | \gamma_{m} - c_m|^2.$$

Isto mostra o resultado e inclusive teremos igualdade se somente se $c_m = \gamma_m.$