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analise2:dido

Vamos apresentar uma demonstração devido a Hurwitz do famoso problema milenar Isoperimétrico.

Teorema: Seja C uma curva plana simples e fechado com comprimento L, seja A a área da regiõa limitada por C. Então, L24πA0 e verifica-se a igualdade se, somente se C é um círculo.

Vamos considerar caso em que C é parametrizada por comprimento de arco por α=(x(s),y(s)),s[0,2l]R2. Claro que α(0)=α(2l) e podemos extender α periodicamente a toda reta.

Suponhamos seguintes séries de Fourier de x,y x(s)a02+k=1[akcos(πksl)+bksen(πksl)]y(s)c02+k=1[ckcos(πksl)+dksen(πksl)]

Lembrando que os coeficientes de Fourier são dados pelas seguintes formulas: ak=1lllx(s)cos(πksl)ds

bk=1lllx(s)sen(πksl)ds

ck=1llly(s)cos(πksl)ds

dk=1llly(s)sen(πksl)ds

Portanto x(s)=k=1(πkl)[aksen(πksl)+bkcos(πksl)] e y(s)=k=1(πkl)[cksen(πksl)+dkcos(πksl)]

Pela identidade de Parseval:

\|y^{'}\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{\pi k c_k }{l})^2 \|sen(\frac{\pi ks}{l})\|^2 + (\frac{\pi k d_k }{l})^2 \|cos(\frac{\pi ks}{l})\|^2.

Sabemos que \|sen(\frac{\pi ks}{l})\|^2 = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} sen^2(\frac{\pi ks}{l}) ds =1 e também \|cos(\frac{\pi ks}{l})\|^2 =1.

portanto temos: \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} (x^{'}(s))^2 ds = (\frac{\pi k}{l})^2 \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2),

\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} (y^{'}(s))^2 ds = (\frac{\pi k}{l})^2 \sum_{k=1}^{\infty} (c_k^2 + d_k^2), e portanto

\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} (x^{'}(s))^2 + (y^{'}(s))^2 ds = (\frac{\pi k}{l})^2 \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2). Já que (x^{'}(s))^2 + (y^{'}(s))^2 =1 (comprimento de arco) então: \pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} k^2(a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2)=2l^2 e já que L=2l temos: \pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} k^2(a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2)=\frac{L^2}{2}.

Agora vamos calcular área da região usando teorema de Green: A = \int_{C} s dy = \int_{-l}^{l} x(s) y^{'}(s) ds = \pi \sum_{k=1}^{\infty} [k(a_k d_k - b_k c_k)].

Agora vamos confiar “as deusas da geometria” e comparar área com comprimento:

L^2 - 4 \pi A = 2 \pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} k^2(a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2) - 4 \pi^2 [k(a_k d_k - b_k c_k)] 2\pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} (ka_k -d_k)^2 + (kb_k +c_k)^2 + (k^2-1)(c_k^2 + d_k^2).

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