Vamos apresentar uma demonstração devido a Hurwitz do famoso problema milenar Isoperimétrico.
Teorema: Seja C uma curva plana simples e fechado com comprimento L, seja A a área da regiõa limitada por C. Então, L2−4πA≥0 e verifica-se a igualdade se, somente se C é um círculo.
Vamos considerar caso em que C é parametrizada por comprimento de arco por α=(x(s),y(s)),s∈[0,2l]→R2. Claro que α(0)=α(2l) e podemos extender α periodicamente a toda reta.
Suponhamos seguintes séries de Fourier de x,y x(s)∼a02+∑∞k=1[akcos(πksl)+bksen(πksl)]y(s)∼c02+∑∞k=1[ckcos(πksl)+dksen(πksl)]
Lembrando que os coeficientes de Fourier são dados pelas seguintes formulas: ak=1l∫l−lx(s)cos(πksl)ds
bk=1l∫l−lx(s)sen(πksl)ds
ck=1l∫l−ly(s)cos(πksl)ds
dk=1l∫l−ly(s)sen(πksl)ds
Portanto x′(s)=∑∞k=1(πkl)[−aksen(πksl)+bkcos(πksl)] e y′(s)=∑∞k=1(πkl)[−cksen(πksl)+dkcos(πksl)]
Pela identidade de Parseval: ‖
\|y^{'}\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{\pi k c_k }{l})^2 \|sen(\frac{\pi ks}{l})\|^2 + (\frac{\pi k d_k }{l})^2 \|cos(\frac{\pi ks}{l})\|^2.
Sabemos que \|sen(\frac{\pi ks}{l})\|^2 = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} sen^2(\frac{\pi ks}{l}) ds =1 e também \|cos(\frac{\pi ks}{l})\|^2 =1.
portanto temos: \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} (x^{'}(s))^2 ds = (\frac{\pi k}{l})^2 \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2),
\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} (y^{'}(s))^2 ds = (\frac{\pi k}{l})^2 \sum_{k=1}^{\infty} (c_k^2 + d_k^2), e portanto
\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} (x^{'}(s))^2 + (y^{'}(s))^2 ds = (\frac{\pi k}{l})^2 \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2). Já que (x^{'}(s))^2 + (y^{'}(s))^2 =1 (comprimento de arco) então: \pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} k^2(a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2)=2l^2 e já que L=2l temos: \pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} k^2(a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2)=\frac{L^2}{2}.
Agora vamos calcular área da região usando teorema de Green: A = \int_{C} s dy = \int_{-l}^{l} x(s) y^{'}(s) ds = \pi \sum_{k=1}^{\infty} [k(a_k d_k - b_k c_k)].
Agora vamos confiar “as deusas da geometria” e comparar área com comprimento:
L^2 - 4 \pi A = 2 \pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} k^2(a_k^2 + b_k^2 + c_k^2 + d_k^2) - 4 \pi^2 [k(a_k d_k - b_k c_k)] 2\pi^2 \sum_{k=1}^{\infty} (ka_k -d_k)^2 + (kb_k +c_k)^2 + (k^2-1)(c_k^2 + d_k^2).