Série de Taylor infinita:

Seja $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ para $x \in (-R, R).$ Então para todo $x_0 \in (-R, R)$ e $x$ tal que $|x-x_0| < R - |x_0|$ temos $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n.$$

Isto é uma série de potências em torno de ponto $x_0.$

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Uma função é analítica num domínio aberto $D$, se para qualquer $x_0 \in D$ existe uma vizinhança em torno de $x_0$, i.e $(x_0-r, x_0 +r)$ tal que para todo $x$ nesta vizinhaça temos:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n.$$

Observe que a função $f(x) = e^{-1/x}, x \neq 0$, $f(0)=0$ é uma função que é infinitamente diferenciável, porém não é analítica.

Provamos uma propriedade chave das funções analíticas: O conjunto de zeros de uma função analítica $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ definida num aberto $D$ não pode ter pontos de acumulação em $D$ a não ser que $f$ é identicamente nula.

Corolário: Sejam $f, g : D \rightarrow \mathbb{R}$ funções analíticas e $\{x \in D | f(x)=g(x)\}$ ter um ponto de acumulação em $D.$ Então $f(x)=g(x), \forall x \in D.$

TumhxtMFL74

Problema: Ache uma norma em $\mathcal{C}^n([a,b])$ tal que $P_{n, x_0}$ (o plinômio de Taylor de grau) $n$ seja o polinômio mais próximo a $f$ na norma.

Considere a norma $|f|_{*} = \sum_{k=0}^{n} |f^{k}(x_0)| + \sup_{x \in [a, b]} |f^{n}(x)-f^{n}(x_0)|$.