✎ vitali []

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Existem diversos limas conhecidos como Lema de Vitali.

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Seja $E \subset \mathbb{R}$ com medida exterior de Lebesgue finita e $C$ uma coleção de intervalos que cobrem $E$ no sentido de Vitali (i.e para todo $\epsilon >0 , x \in E$ existe intervalo na coleçnao de tamanho menor do que $\epsilon$ contendo $x$.) então dado $\epsilon > 0$ existem intervalos disjuntos $\{I_1, \cdots , I_N\}$ tais que 
$$
 m^*(E \setminus \bigcup_{n=1}^{N} I_n) \leq \epsilon.
$$
</WRAP>
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Seja $C$ uma coleção de bolas abertas em $\mathbb{R}^n$ e $U = \cup_{B \in C} B$. Para qualquer $C < m(U)$ existem bolas disjuntas $B_1 , \cdots m, B_N$
 tais que $$\sum m(B_i) > 3^{-n}c
$$
</WRAP>

Para demonstrar a versão finita vamos enunciar o seguinte lema que também é conhecido como coraçnao do argumento de Vitali:

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Sejam $B_1, \cdots, B_n$ uma coleçnao finita de bolas abertas num espaço métrico qualquer. Então existem uma sub-coleção disjunta destas bolas $B_{j_1}, \cdots, B_{j_m}$ tais que
$$
 \bigcup_{i=1}^{n} \subset \bigcup_{n=1}^{m} 3B_{j_n}
$$
onde $3B$ é a bola com mesmo centro de $B$ e raio 3 vezes maior.
</WRAP>

Demonstração: Escolhe $B_1$ uma das bolas com maior raio entre $A_i$'s. em seguida escolha $B_2$ a maior bola que não intersecta $B_1.$ E depois $B_3$ a maior que não intersecte $B_1, B_2.$ Continuando assim até não conseguir escolher mais nenhuma bola e paramos o processo. Agora tome qualquer $A_i$. Certamente ela intersecta alguma bola $B_j$. Seja $j_0$ o menor número com essa propriedade. Então pela construção de bola $B$'s concluímos que $r(A_i) \leq r(B_j)$ e portanto $A_i \subset 3B_{j_0}.$

Uma versão infinita de Lema de Vitali em espaços métricos é como a seguir:
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Seja $F$ uma coleção arbitrária de bolas num espaço métrico separável. Suponhamos que $Sup_{B \in F} r(B) < \infty.$ Então existe uma coleçnao enumerável $G \subset F$ de bolas disjuntas tais que 
$$

\bigcup_{B \in F} B \subset \bigcup_{B_i \in G} 5B_i
$$
</WRAP>

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