✎ vitali []

You've loaded an old revision of the document! If you save it, you will create a new version with this data.

Existem diversos limas conhecidos como Lema de Vitali.

<WRAP  round tip 60%>
Seja $E \subset \mathbb{R}$ com medida exterior de Lebesgue finita e $C$ uma coleção de intervalos que cobrem $E$ no sentido de Vitali (i.e para todo $\epsilon >0 , x \in E$ existe intervalo na coleçnao de tamanho menor do que $\epsilon$ contendo $x$.) então dado $\epsilon > 0$ existem intervalos disjuntos $\{I_1, \cdots , I_N\}$ tais que 
$$
 m^*(E \setminus \bigcup_{n=1}^{N} I_n) \leq \epsilon.
$$
</WRAP>
<WRAP  round tip 60%>
Seja $C$ uma coleção de bolas abertas em $\mathbb{R}^n$ e $U = \cup_{B \in C} B$. Para qualquer $C < m(U)$ existem bolas disjuntas $B_1 , \cdots m, B_N$
 tais que $$\sum m(B_i) > 3^{-n}c
$$
</WRAP>

Para demonstrar a versão finita vamos enunciar o seguinte lema que também é conhecido como coraçnao do argumento de Vitali:

<WRAP center round tip 60%>
Sejam $B_1, \cdots, B_n$ uma coleçnao finita de bolas abertas num espaço métrico qualquer. Então existem uma sub-coleção disjunta destas bolas $B_{j_1}, \cdots, B_{j_m}$ tais que
$$
 \bigcup_{i=1}^{n} \subset \bigcup_{n=1}^{m} 3B_{j_n}
$$
onde $3B$ é a bola com mesmo centro de $B$ e raio 3 vezes maior.
</WRAP>

Demonstração: Escolhe $B_1$ uma das bolas com maior raio entre $A_i$'s. em seguida escolha $B_2$ a maior bola que não intersecta $B_1.$ E depois $B_3$ a maior que não intersecte $B_1, B_2.$ Continuando assim até não conseguir escolher mais nenhuma bola e paramos o processo. Agora tome qualquer $A_i$. Certamente ela intersecta alguma bola $B_j$. Seja $j_0$ o menor número com essa propriedade. Então pela construção de bola $B$'s concluímos que $r(A_i) \leq r(B_j)$ e portanto $A_i \subset 3B_{j_0}.$

Edit summary

Note: By editing this page you agree to license your content under the following license: CC Attribution-Share Alike 4.0 International