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Uma curva parametrizada é uma função $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ onde $  I \subset \mathbb{R} $ é um intervalo. Geralmente interpretamos $  \gamma(t) $ como "posição" de uma partícula em $  \mathbb{R}^n $ no momento $  t $.

Exemplo: Considere duas partículas no espaço 3-dimensional movimentando conforme lei do Newton (atração entre elas). A posição de cada partícula é determinada por 3 coordenadas (que depende do tempo $  t $). Portanto $  \gamma_1, \gamma_2 : I \rightarrow \mathbb{R}^3 $ representam posição de cada partícula. Podemos juntar as duas e descrever a configuração do sistema de duas partículas como única função $  \Gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^6.  $ Ou seja, a configuração temporal das posições de k partículas em movimento no espaço 3-dimensional pode ser representada por uma curva no espaço $  \mathbb{R}^{3k}. $

**Exemplo:** Considere $  \gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, \gamma(t)=(a cos(t), a sen(t), bt) , t \in \mathbb{R}.$ Essa é parametrização de uma curva que cujo traço espirala sobre cilíndrio $  x^2+y^2=a^2 $.

Duas curvas $  \gamma_1, \gamma_2 $ podem ter o mesmo traço. Por exemplo $  \gamma_1(t)= (cos(t), sen(t)), t \in [0, 2\pi] $ , $  \gamma_2(t)= (sen(t), cos(t), t \in [0, 2\pi]) $ , $  \gamma_3(t)= (cos(2t), sen(2t), t \in [0, \pi])  $ e $  \gamma_4(t)= (cos(2t), sen(2t), t \in [0, 2\pi])$

todas tem o mesmo traço.  O traço de todas as curvas é o círculo unitário $  x^2+y^2=1$ no plano. Entretanto, nos casos $  \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 $ a partícula gira apenas uma vez sobre círculo, enquanto no caso de $  \gamma_4 $ dá duas voltas.

Enquanto $  \gamma_1 $ inicia no tempo $  t=0 $ no ponto $  (1, 0) $ e traça no sentido anti-horário o círculo, a partícula seguindo regra definida por $  \gamma_2 $ inicia no ponto $  (0, 1) $ e vai no sentido horário.

A curva $  \gamma_3 $ como $  \gamma_1 $ inicia no ponto $  (1, 0) $ porém percorre o circulo na metade do tempo (i. e $  \pi $). de fato a velocidade da partícula dobrou!

Para uma curva $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ podemos discutir continuidade e diferenciabilidade também.

**Continuidade:** Se $  t_0 \in I $, então a curva é contínua no ponto $  t=t_0 $ se para qualquer $  \epsilon > 0 $ exista $  \delta > 0 $ tal que se $  |t-t_0| \leq \delta $ então $  |\gamma(t)-\gamma(t_0)| \leq \epsilon. $ Observe que essa definição é como continuidade no cálculo 1, apenas observem que $  \gamma(t) - \gamma(t_0) $ é um vetor em $  \mathbb{R}^n $ e $  |\gamma(t)-\gamma(t_0)|$ representa a norma deste vetor.

Lembramos que se $  \gamma(t)= (\gamma_1(t), \gamma_2(t), \cdots, \gamma_n(t)) $ e $  \gamma(t_0)= (\gamma_1(t_0), \gamma_2(t_0), \cdots, \gamma_n(t_0)) $ então:

$  \|\gamma(t) - \gamma(t_0) \|= \sqrt{(\gamma_1(t)-\gamma_1(t_0))^2 + \cdots (\gamma_n(t)-\gamma_n(t_0))^2}$

Por outro lado

$  |\gamma_i(t) - \gamma_i(t_0)| \leq \|\gamma(t) - \gamma(t_0)\| \leq \sqrt{n} max_{i=1,\cdots, n} |\gamma_i(t)-\gamma_i(t_0)|$

a desigualdade esquerda vale para todo $   1 \leq i \leq n.$

Conclusão: A curva $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ é contínua no ponto $  t_0 $ se somente se todas as funções $  \gamma_i : I \rightarrow \mathbb{R} $ são contínuas no ponto $  t_0. $

De uma forma similar podemos definir noção de limite e podemos provar que $  \lim_{t \rightarrow t_0} \gamma(t) = L= (l_1, \cdots, l_n) \in \mathbb{R}^n $ se somente se $  \lim_{t \rightarrow t_0} \gamma_i(t) = l_i $ para todo $  1 \leq i \leq n. $

**Diferenciabilidade:**

De uma forma similar as funções reais podemos definir a derivada para uma curva: Uma curva $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ é diferenciável no ponto $  t=t_0 $ se

$  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\gamma(t_0+h) - \gamma(t_0}{h} $

existir e este limite é denotado por $  \gamma^{'}(t_0). $ Observem que $  \gamma^{'}(t_0) $ é um vetor em $  \mathbb{R}^n. $ Este vetor é o vetor da velocidade.

É bom ressaltar que não podemos misturar o traço de uma curva (a figura geométrica) com ela, que é uma função.

Novamente podemos demonstrar que $  \gamma $ é diferenciável em $  t=t_0 $ se somente se $  \gamma_i : I \rightarrow  \mathbb{R} $ forem diferenciáveis em $  t_0 $ para todo $  1 \leq i \leq n. $

Exemplo: Considere $  \gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 $ tal que $  \gamma(t)= (t^3, t^2). $ O traço desta curva é formado por pontos $  (x, y), x=t^3, y=t^2 $ Observe que $  \gamma^{'}(t) = (3t^2, 2t) $ e no ponto $  t=0 $ temos $  \gamma^{'}(0)=(0, 0). $

Veja o traço da curva abaixo e discute o bico que aparece no traço da curva e que mesmo assim a curva tem derivada no ponto $  t=0. $ Isto mostra que não devemos traço de uma curva com gráfico da função.

Dada uma função $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ escrevemos

$  \gamma(t) = (\gamma_1(t), \cdots, \gamma_n(t)) $. Se $  \gamma $ for diferenciável no ponto $  t=t_0 $ então

$  \gamma^{'}(t_0)= (\gamma_1^{'}(t_0), \cdots, \gamma_n^{'}(t_0)) $ é vetor da derivada. Na mecânica, se $  \gamma $ representar o movimento de uma partícula, então $  \gamma^{'}(t) $ é a velocidade no momento $  t. $

**Reparametrização:**

Seja $  \gamma: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n $ uma curva diferenciável no $  \mathbb{R}^n$ (nos pontos extremais consideramos apenas derivada lateral!) e $  \alpha: [c, d] \rightarrow [a,b] $ uma função diferenciável com derivada contínua. Suponhamos que $  \alpha^{'}(t) >0 $, então podemos verificar que

$  \eta: [c, d] \rightarrow \mathbb{R}^n $ também é uma curva diferenciável e seu traço coincide com traço de $  \gamma. $

Usando regra de cadeia podemos verificar que

$  \eta^{'}(t) = (\gamma_1^{'}(\alpha(t)) \alpha^{'}(t), \cdots, \gamma_1^{'}(\alpha(t)) \alpha^{'}(t) ) = $

$  = \alpha^{'}(t) \gamma^{'}(\alpha(t)).$

Ou seja a velocidade de $  \eta$ no momento $  t $ múltiplo positivo da velocidade de $  \gamma $ no momento $  \alpha(t) $.

A curva $  eta $ é uma reparametrização de $  \gamma $ preservando a orientação.

Se $  \alpha^{'}(t) < 0 $ para todo $  t \in [c, d] $ então teremos uma reparametrização invertendo orientação.

Algumas propriedades da derivada:

Colocamos como exercício:

Sejam $  \gamma, \eta: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ diferenciáveis, então:
$  (\gamma.\eta)^{'}(t) = \gamma^{'}(t) \eta(t) + \gamma(t) \eta^{'}(t) $ , lembrando que $  \gamma(t). \eta(t)$ é o produto escalar entre dois vetores.

2. Sejam $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^n $ e $  f : I \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciáveis, então $  f\gamma: I \rightarrow \mathbb{R}$ é diferenciável e

$(f \gamma)^{'}(t) = f(t) \gamma^{'}(t)  + f^{'}(t) \gamma(t).$

3.  Sejam $  \gamma, \eta: I \rightarrow \mathbb{R}^3 $ diferenciáveis, então, $  \gamma \times \eta: I \rightarrow \mathbb{R}$ é diferenciável e

$  (\gamma \times \eta)^{'}(t) = \gamma^{'}(t) \times \eta(t) + \gamma(t) \times \eta^{'}(t). $

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