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Teorema Fundamental de Cálculo

Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ Riemann integrável, então $F: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}, F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ é contínua. Além disso, $F$ é diferenciável em todo ponto de continuidade de $f$ e $F^{'}(x)= f(x).$

Definição de Primitiva de uma função: Dada $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ e $F$ diferenciável dizemos que $F$ é uma primitiva de $f$ se para todo ponto $x, F^{'}(x)= f(x).$

Corolário do Teorema Fundamental: Se $f$ é contínua então tem uma primitiva. A diferença de duas primitivas é apenas num número constante. Observe que estmaos assumindo que o domínio da função $f$ é conexo.

Teorema de Anti-derivada: Seja $f$ uma função integrável e $F$ sua primitiva. Então $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt + C$ para algum $C \in \mathbb{R}.$

Observação simples: Uma função $f$ pode ter primitiva e mesmo assim pode ter pontos de descontinuidade.

\[
    f(x) = \left\{\begin{array}
       x^2 sin(\frac{1}{x}) , & \text{se } x \neq 0\\
        0, & \text{se } x=0
        \end{array} \right\} \]

Por exemplo seja 
$f(x)= \begin{cases}
x^2 sin(\frac{1}{x}) & \text{if $x \neq 0$ } \\
0 & \text{$x=0$}
\end{cases}$
Observação: Dada uma função com primitiva, ela não precisa ser integrável. De fato podemos construir uma função $F$ diferenciável em todo $[0, 1]$ e que sua derivada é descontínua num conjunto de medida total.

Entretanto topologicamente o conjunto de pontos de descontinuidade de uma função diferenciável é pequeno.

<WRAP  round tip 60%>
Seja $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável. Então $f = F^{'}$ é contínua num conjunto $G_{\delta}$ denso. Lembre que um conjunto $G_{\delta}$ contem interseção enumerável de conjuntos abertos.

</WRAP>

====== Mudança de variável======

Mudança de variável: Atenção na hipôtese que está faltando no video: Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua e $g : [c, d] \rightarrow [a, b]$ <color #ed1c24>diferenciável com derivada contínua</color> então:

$$
 \int_{c}^{d} f(g(x)) g^{'}(x)dx = \int_{g(c)}^{g(d)} f(x)dx.  
$$

Pela hipótese a função $f$ é integrável, $g^{'}$ também integrável e portanto a integral do lado esquerdo faz sentido por ser produto de duas funções integráveis.

Observem também que não assumimos nada mais sobre derivada da função $g$. Por exemplo não necessitamos que a função $g$ seja crescente .... Veja[[https://alitahzibi.wordpress.com/calculo-2/duas-tecnicas-para-sempre/mudanca-de-variavel-olhar-geometrico/| blog de cálculo]] para ver uma interpretação geométrica.

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