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====== Teste da segunda derivada para extremos locais ======

**Relembrando (funções de uma variável):**

Suponha que $f$, $f'$ e $f''$ são contínuas em um intervalo $I$ que contém $t=t_0$.

1) Se $f'(t_0)=0$ e $f''(t_0)<0$, então $f$ tem um máximo local em $t_0$.

2) Se $f'(t_0)=0$ e $f''(t_0)>0$, então $f$ tem um mínimo local em $t_0$.

3) Se $f'(t_0)=0$ e $f''(t_0)=0$, então o teste é inconcludente.

Agora nosso objetivo é generalizar o teste da segunda derivada para <color #ed1c24>extremos locais de funções de duas variáveis</color>.

Seja $D$ uma região do plano (não importa se aberta ou fechada).

**Definições:** Seja $f$ uma função definida em uma região $D$ do plano que contém o ponto $(a,b)$ no seu interior. Então:

**1)** $f(a,b)$ é um <color #ed1c24>valor máximo local</color> de $f$ se $f(a,b)\geq f(x,y)$ para todos os pontos $(x,y)$ em um disco aberto centrado em $(a,b)$ e contido em $D$. O ponto $(a,b)$ é chamado <color #ed1c24>máximo local</color> de $f$ em $D$.

**2)** $f(a,b)$ é um <color #ed1c24>valor mínimo local</color> de $f$ se $f(a,b)\leq f(x,y)$ para todos os pontos $(x,y)$ em um disco aberto centrado em $(a,b)$ e contido em $D$. O ponto $(a,b)$ é chamado <color #ed1c24>mínimo local</color> de $f$ em $D$.

**3)** O ponto $(a,b)$ é chamado <color #ed1c24>extremo local</color> de $f$ em $D$ se é um ponto máximo ou mínimo local de $f$ em $D$.

<color #ed1c24>Teorema:</color> Seja $f$ uma função diferenciável em $D$ e seja $(a,b)$ um ponto no interior de $D$. Se $(a,b)$ é um extremo local de $f$, então $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$.

Mas, se liga!
$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$ não implica que $(a,b)$ é um extremo local de $f$.

Vamos definir agora um tipo diferente de ponto. Qualquer ponto $(a,b)$ no interior de $D$, onde $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$ é chamado **ponto crítico** de $f$.

Um ponto crítico $(a,b)$ de $f$ é um <color #ed1c24>ponto de sela</color> se em todo disco aberto de centro $(a,b)$ contido em $D$, existirem pontos $(x,y)$ onde $f(x,y)>f(a,b)$ e pontos $(x,y)$ onde $f(x,y)<f(a,b)$.

<color #ed1c24>Exemplos:</color>

**1)** Tomando $f(x,y)=x^2+2y^2$ temos um parabolóide onde $f(x,y)\geq f(0,0)=0$ para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. $(0,0)$ é um mínimo de $f$.
Note que $f_x(x,y)=2x$ e $f_y(x,y)=4y$ e daí $f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$.

**2)** Tomando $f(x,y)=-x^2-2y^2$ temos um parabolóide onde $f(x,y)\leq f(0,0)=0$ para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. $(0,0)$ é um máximo de $f$.
Note que $f_x(x,y)=-2x$ e $f_y(x,y)=-4y$ e daí $f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$.

**3)** Agora olhando para $f(x,y)=x^2-2y^2$ temos que $(0,0)$ não é mínimo nem máximo local de $f$, é um ponto de sela. Pois, por exemplo, $f(x,0)=x^2>f(0,0)=0$ e $f(0,y)=-4y<f(0,0)=0$.

Agora, dado um ponto crítico como saberemos se é máximo, mínimo ou ponto de sela?

Agora, dado um ponto crítico como saberemos se é máximo, mínimo ou ponto de sela? 
Primeiramente vamos ver uma matriz chamada matriz Hessiana.

**Definição:** Dada uma função $f$ definida em $\mathbb{R}^2$, a **matriz Hessiana** de $f$ no ponto $(a,b)$ é uma matriz $2\times 2$ dada por

$  H(a,b) =  \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial x}(a,b) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a,b)& \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}(a,b) \end{bmatrix}$

se todas as derivadas parciais de segunda ordem existem.
No que estamos interessados é no determinante da matriz Hessiana, que é dado por $f_{xx} f_{yy}-f_{xy}^2$.

**Critério:** Suponha que $f$ e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem sejam contínuas sobre um disco centrado em $(a,b)$ e que $f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$. Então:

**1)** $(a,b)$ é um <color #ed1c24>máximo local</color> se $f_{xx}(a,b)<0$ e $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)>0$.

**2)** $(a,b)$ é um <color #ed1c24>mínimo local</color> se $f_{xx}(a,b)>0$ e $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)>0$.

**3)** $(a,b)$ é um <color #ed1c24>ponto de sela</color> se $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)<0$.

O teste é inconcludente se $f_{xx}f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)=0$.

<color #ff7f27>Exemplo:</color> Olhemos para a seguinte função:

$
f(x,y)=-5x^2+2xy-2y^2+4x+4y-4.
$

Primeiro, como $f$ é um polinômio, $f$ e todas as suas derivadas parciais de toda ordem existem e são contínuas em $\mathbb{R}^2$.

$
f_x(x,y)=-10x+2y+4, f_y(x,y)=2x-4y+4
$

Para localizarmos os pontos críticos igualamos essas duas equações a 0. Fazendo dessa forma temos que $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)$ é um ponto crítico. Vamos ver qual a sua natureza.

$f_{xx}\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)=-10<0$

e

$f_{xx}f_{yy}\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)-f_{xy}^2\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)=36>0$.

Assim, concluímos que $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)$ é um máximo local de $f$.

====== Extremos absolutos (globais) ======

Vimos que podemos localizar e identificar os tipos dos extremos locais de uma função em pontos no interior do seu domínio. Agora queremos saber como identificar no domínio inteiro.

**Definição:** Um conjunto $D\subset \mathbb{R}^2$ é compacto se é fechado e limitado.

Temos que:

$(a,b)$ é um <color #ed1c24>máximo absoluto</color> de $f(x,y)$ em $D$ se $f(x,y)\leq f(a,b)$ para todo $(x,y)$ em $D$.

$(a,b)$ é um <color #ed1c24>mínimo absoluto</color> de $f(x,y)$ em $D$ se $f(x,y)\geq f(a,b)$ para todo $(x,y)$ em $D$.

$(a,b)$ é um <color #ed1c24>extremo absoluto</color> de $f(x,y)$ em $D$ se é máximo ou mínimo absoluto de $f$ em $D$.

**Teorema (Weierstrass):** Seja $f$ uma função contínua em um compacto $D\subset\mathbb{R}^n$. Então existem pontos $p_1$ e $p_2$ em $D$ tais que

$
f(p_1)\leq f(x) \leq f(p_2)
$

para todo $x$ em $D$.

Dada $f$ uma função contínua em uma região compacta $D$ de $\mathbb{R}^2$, o teorema de Weierstrass nos diz que $f$ possui um máximo e um mínimo absoluto em $D$.

Suponhamos que $f$ e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem existem e são contínuas no interior de $D$ e na fronteira de $D$.
Para acharmos os extremos absolutos de $f$ em $D$:

1) Listamos os pontos interiores de $D$ onde $f$ tem máximos ou mínimos locais e calculamos $f$ nesses pontos.

2) Listamos os pontos da fronteira de $D$ onde $f$ tem máximos ou mínimos locais e calculamos $f$ nesses pontos.

3) Comparamos todos e achamos os valores máximo e mínimo absolutos de $f$ em $D$.

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