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Dada uma função diferenciável   $ f  $ e ponto  $ a  $ no interior do seu domínio, a aproximação linear da  $ f  $ em torno de  $ a  $ é uma função linear  $ L  $ tal que

$ f(a)=L(a)  $ e

$ f^{'}(a)= L^{'}(a).  $

A partir de agora denotamos por  $ f^{(n)}  $ a derivada de órdem  $ n  $ da função  $ f.  $ Lembrando que  $ f^{'}  $ é a derivada de ordem 1.

Polinômio de Taylor de grau  $ k  $:

Seja  $ f: I \rightarrow \mathbb{R}  $ uma função  $ k  $ vezes diferenciável em  $ a \in I.  $  Então existe um e apenas uma função polinômial de grau  $ k  $ denotado por  $ p_k  $ tal que

$ p(a)=f(a), p^{'}(a)=f^{'}(a), \cdots p^{(k)}(a)=f^{(k)}(a).  $

Demonstração: (é um exercício) A dica para mostrar existência de tal polinômio é escrever  $ p(x)= a_0 + a_1 (x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots + a_k(x-a)^k  $

Assim, podemos concluir que

$ a_0 = f(a), a_1 = f^{'}(a), a_2 = \frac{1}{2!} f^{''}(a), \cdots, a_k = \frac{1}{k!} f^{(k)}(a).  $

Por coincidência de valores de  $ f^{(i)}(a)  $ e  $ p^{(i)}(a)  $, vamos concluir que a função polinomial  $ p  $ é uma aproximação "bem forte" (de órdem  $ k  $) de  $ f  $ perto de  $ a.  $

Mais rigorosamente:

Teorema: Se  $ p  $ é o polinômio Taylor de grau  $ k  $ no ponto  $ x=a  $ então

$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} =0.  $

Agora podemos entender o que queríamos dizer com aproximação forte: perto do ponto  $ a  $ o erro de aproximação de  $ f(x)  $ por  $ p(x)  $ é dominado por  $ (x-a)^k.  $ Na medida em que escolhemos k maior, teremos um polinômio que melhor aproxima a função.

Demonstração (usando L'hopital assumindo que  $ f  $ é  $ k   $ vezes diferenciável com derivada contínua num intervalo em torno de  $ a   $):

$ (f(x)-p(x))^{(k)}= f^{(k)}(x)-p^{(k)}(x)  $ e a derivada de órdem  $ k  $ da função  $ (x-a)^k  $ é  $ k!  $

Portanto  $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{(f(x)-p(x))^{(k)}}{((x-a)^k)^{(k)}} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{(k)}(x) - p^{(k)}(x)}{k!} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{(k)}(a)-p^{(k)}(a)}{k!} =0.  $

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Observação: Para provar o teorema acima podemos usar indução matemática e apenas assumir que  $ f   $ é  $ k-1   $ vezes diferenciável num intervalor em torno de  $ a   $ e  $ k   $ vezes diferenciável no ponto  $ a.   $
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Exemplo:

Vamos achar polinômios de Taylor da função  $ sen  $ no ponto  $ x=0.  $ Assim podemos achar um método de calcular aproximadamente valores de  $ sen(x)  $ que para  $ x  $ perto de zero funcione muito bem.

$ sen(0)=0   $

$ sen^{'}(0)=cos(0)=1   $

$ sen^{''}(0)=-sen(0)=0   $

$ sen^{'''}(0)=-cos(0)=-1   $

e a partir da quarta derivada repetimos os mesmos números.

Então os polinômios até quinto grau são os seguintes:

$ P_1 (x) = P_2(x) =  x   $

$ P_3(x)=P_4(x) = x - \frac{x^3}{3!}   $

$ P_5(x)= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}.   $

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