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Provamos duas maravilhas de cálculo: Integração por partes e teorema de valor médio para integral.

Teorema de integração por partes: 
Sejam $f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável com derivada integrável. Então 
$$
 \int_{a}^{b} f g^{'} = fg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'}g.
$$
Teorema Valor médio: 
Seja $p: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função positiva (ou negativa) e integrável e $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua. Então existe $c \in [a, b]$ tal que 
$$
 \int_{a}^{b} f(x) p(x )dx = f(c) \int_{a}^{b} p(x) dx.
$$

Observe que $p$ precisa uma função positiva (melhor dizendo, sem alterar sinal no intervalo $[0,1]$). Se $p (x) =1, \forall x \in [a,b]$ obteremos o teorema usual no cálculo 1.

Usando este teorema de valor médio concluímos o Taylor com resto de Lagrange.

Primeiramente mostramos que 
Teorema: Seja $\phi: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $n$ vezes diferenciávle com $n$ésima derivada integrável. Então
$$
 \phi(1) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{\phi^{(i)}(0)}{i!} + \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{n-1}}{(n-1)!} \phi^{(n)}(t)dt. 
$$

Prova do teorema acima é por indução e usando integração por partes. Agora apenas considere $\phi(t) = f(a+th)$ para provar teorema abaixo:

Teorema: Seja $f : [a, a+h]$ diferenciávle $n$ vezes com derivada $n$ esima contínua. Então 
$$
f(a+h)= f(a) + h f^{'}(a)+ h^2 \frac{f^{(2)}(a)}{2!} + \cdots + h^{n-1} \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+ h^n \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(a+th) dt
$$

Agora usando teorema acima e o teorema de valor médio nesta página para integral, concluímos:

<color #ed1c24>Teorema (Taylor com resto de Lagrange):</color>
Seja $f: [a, a+h]$ diferenciável $n$ vezes com derivadas contínuas então existe $0 \leq \theta \leq 1$ tal que
$$
f(a+h) = f(a) + h f^{'}(a)+ h^2 \frac{f^{(2)}(a)}{2!} + \cdots + h^{n-1} \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+ h^n \frac{f^{(n)}(a + \theta h)}{n!}
$$
Além disso, observem que $sen^{(n)}(0) = 0$ se $n$ for par e $sen^{(2n+1)}(0) = (-1)^n.$
<WRAP  round tip 60%>
Aplicações
</WRAP>

Devemos lembrar de uma aplicação simples do teorema de Taylor com resto de Lagrange que é critério de sinal da $n$ ésima derivada num ponto crítico.

Seja $f$ uma função $n$ vezes diferenciável com $n$ ésima derivada contínua num intervalo em torno de $a$ e  $a$ um ponto crítico com $f^{'}(a)= f^{(2)}(a) = \cdots = f^{(n-1)}(a) = 0$. então verifique se $a$ é um ponto máximo ou mínimo local dependendo do sinal de $f^{(n)}(a).$ Claro que se  $f^{(n)}(a) = 0$ não podemos afirmar nada usando este critério.

Solução: Se $n$ for par, $f^{(n)}(a) > 0$ ponto $a$ é mínimo local e se $f^{(n)}(a) <0$ é um máximo local.
Caso $n$ for ímpar então $a$ é um ponto de tipo sela.

Outra aplicação é para escrever série de Taylor infinita. 
Exemplo: Considere $f(x)=sen(x)$ então 
$$
 sen(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
$$

Para provar tal afirmação, considere $x > 0 $ e observe que pelo Taylor com resto de Lagrange $sen(x) = sen(0) + x cos(0) + \cdots \frac{x^n}{n!} sen^{(n)}(\theta)$ para algum $0 \leq \theta \leq x.$ O resto de Lagrande é $R_n = \frac{x^n}{n!} sen^{(n)}(\theta)$ e é claro que 
$$
 |R_n| \leq |\frac{x^n}{n!}| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty.
$$
Então pode se verificar que $F^{(n)}(0)=0$ e portanto a série (infinita) de Taylor não pode convergir ao valor de $F(x)$ para pontos $x > 0.$

Exemplo clássico de uma função suave que não é real analítica:

Seja $$F(x) = \begin{cases}
e^{\frac{-1}{x}}  & x > 0\\
0 & x\leq0
\end{cases}$$
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