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====== Teorema do valor intermediário: ======


A Alice saiu da sua casa (<color #ed1c24>antes da quarentena!</color>) as 07:00hs para ir à biblioteca do ICMC estudar cálculo 1, (Honors calculus). Ela fez uma caminhada contínua (porém as vezes rápida e as vezes devagar e apreciando a paisagem) e chegou as 08:00hs na biblioteca e estudou o dia inteiro e adormoeceu lá na bilioteca e dormiu lá mesma (Sim! alun@s de cálculo são seri@s!).

No dia seguinte as 07:00hs ela saiu da biblioteca e fez exatamente a inversa da mesma trajetória para voltar a casa. Claramente na volta, sendo cansada, teve momentos de parada, as vezes velocidade muito baixa, ..., mas ela afinal chegou em casa as 09:00 hs.

Pergunta: Será que existe algum ponto no caminho entre a casa dela e a biblioteca, pelo qual a Alice passou  tanto na ida quanto na volta no mesmo horário (exato)?

Vamos pensar um pouco sobre este problema! {{ :pensar.jpeg?200|}}

Para responder essa pergunta, podemos usar um resultado sobre funções contínuas (existem outras formas práticas e rápidas para responder também!) Já que estamos no cálaculo, vamos falar de teorema do valor intermediário:

<WRAP  round tip >
Teorema do valor intermediário:Seja $  f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}   $ uma função contínua em todo ponto. Sejam $  f(a)= A, f(b) = B   $. Então para qualquer número real $  C   $ entre $  A   $ e $  B   $ existe  $  c \in [a, b]   $ tal que $  f(c) = C.  $
</WRAP>

 

<WRAP  round info >
Observação: A continuidade no ponto $  a, b   $ deve ser entendida como $  \lim_{x \rightarrow a^+}=f(a) , \lim_{x \rightarrow b^{-} = f(b)}   $.
</WRAP> 

O teorema parece óbvio, né? se considerarmos o gráfico da função $  f   $ como um pedaço de barbante que conecta pontos $  (a, A)   $ e $  (b, B)   $ parece claro que algum ponto de barbante deve ter altura $  C.   $

Ok, mas lembrem que esta não é uma demonstração matemática!

Em vez de demonstrar o teorema acima, vamos usá-lo e reolver problema da Alice primeiramente.

Seja $  f: [7, 8] \rightarrow \mathbb{R}, g:[7, 9] \rightarrow \mathbb{R}    $ as funções que correpondem  a posição da Alice em cada instante na ida e volta. Vamos supor que a posição da casa dela seja A e da biblioteca B. e que $  A < B.   $

Agora considere a função $  h: [7,8] \rightarrow \mathbb{R}, h(x):= f(x) - g(x).   $ Então $  h   $ é uma função contínua, por ser diferença de duas funções contínuas. Temos

$  h(7) = A - B,  h(8)= B - g(8)   $

É claro que $  g(8) \leq B   $ e portanto $  h(7) <  0 \leq h(8).   $ Portanto pelo teorema do valor intermediário existe $  c \in [7,8]   $ tal que

$  h(c) = 0 $ portanto $f(c)=g(c).    $



Poderiamos responder a pergunta d aAlice de seguinte forma simples também: Considere Alice no dia da ida e da volta ao mesmo tempo. Ou se quiser substitua o problema ao seguinte problema equivalente: Alice está indo para biblioteca as 07:00hs e o Bernardo também exatamente as 07:00hs vem para casa da Alice desde bibliteca. Eles vão se encontrar no caminho?

Claro que sim!!!!!




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Ok, vamos para um outro problema:

Será que a equação $  sen(x) - x^2 + x+3=0   $ tem raízes entre $  [-\pi, \pi]?   $

Vamos verificar que essa equação tem pelo menos 2 raízes no intervalo $  [-\pi, \pi].   $ Primeiramente observe que $  f(x)= sen(x) - x^2 + x+3   $ é uma função contínua de $  x   $, por ser soma de funções contínuas. Verificamos que

$  f(-\pi) = - \pi^2 - \pi + 3 < 0   $ e
$  f(\pi) = - \pi^2 + \pi + 3 < 0   $ e
$  f(0)= 3 > 0   $.

Portanto a equação tem pelo menos uma raíz no intervalo $  [- \pi, 0]   $  e outra no intervalo $  [0, \pi ].  $

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Outro exemplo legal: 
Considere a equação $$x^5-2x^3 + 8x^2 -8=0.$$
Como achar raízes desta equação? Difícil, né? O teorema de valor intermediário tem um corolário potente: 
<WRAP center round tip 60%>
Todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real!
</WRAP>
A demonstração é simples: Considere $P(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^{n}$ onde $n$ é ímpar. Vamos supor que $a_n < 0$, então $\lim_{n \rightarrow +\infty} P(x) = - \infty$  podemos ver também que  $\lim_{n \rightarrow -\infty} P(x) = + \infty$. Pela definição de limite no infinito, podemos concluir que existe $x$ tal que $P(x) < 0$.  De fato Pela definição, para todo $M < 0$ existe $L$ tal que para todo $x > L$ temos $P(x) < M$ e portanto $P(x) < 0.$ De uma forma similar temos (muitos! mas para nossa demonstração basta um) $y$ tal que $P(y) > 0.$ Agora usando teorema de valor intermediário existe $z$ entre $x$ e $y$ tal que $P(z)=0.$ Achamos uma raiz! O Caro $a_n > 0$ podemos argumentar de forma similar ou simplesmente considerar o polinômio $- P(x).$

No exemplo do polinômio acima, o grau é 5 e portanto com certeza temos uma raiz. Entretanto dá para analisar mais detalhadamente:
  * Verifiquem que $P(-2) > 0 > P(-3)$ e portanto existe uma raiz entre $-3, -2$.
  * Verifiquem que $P(-1) > 0 > P(0)$ e portanto temos uma outra raiz entre $-1, 0$.
  * $P(1) < 0 < P(2)$ e portanto temos mais uma raiz entre $1$ e $2.$ 







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<WRAP  round info 60%>
Sobre continuidade de inversa de uma função
</WRAP>


Vamos formalizar algumas notações:

Um intervalo é um conjunto como $  (a, b), [a, b), (a, b]   $ ou $  [a, b].   $ Em todos os casos, um ponto $  x   $ é dito ponto do interior quando existe $  \epsilon > 0   $ tal que $  a < x-\epsilon < x+ \epsilon < b   $. Ou seja todos os pontos do intervalo exceto os extremos que são $  a, b.   $ Lembrem que em todos os intervalos supracitados os pontos de acumulação são os mesmos $  [a, b].   $




Seja $  f: S \rightarrow \mathbb{R}   $ uma função injetiva e $  T = \{f(x) : x \in S\}   $. Para qualquer $  y \in T   $ existe um e somente um elemento $   x \in S  $ tal que $  f(x) = y.   $ Assim definimos a função inversa $  f^{-1} : T \rightarrow \mathbb{R},  f^{-1}(y) =x.   $

Logo podemos concluir:

Para todo $  x \in S,  f^{-1}(f(x)) = x,    $
Para todo $  y \in T, f(f^{-1}(y)) = y.   $

<WRAP  round tip >
Teorema: Seja $  I   $ um intervalo e $  f : I \rightarrow \mathbb{R}   $ uma função injetiva e contínua. então $  f^{-1}   $ também é contínua.
</WRAP>



Para provar este teorema vamos começar com uma proposição. A função $  f   $ é estritamente crescente se para todo $  s, t \in I , s < t   $  então $  f(s) < f(t).   $ Claramente a função é estritamente decrescente se para todo $  s, t \in I, s < t \Rightarrow f(s) > f(t). $
<WRAP  round tip >
Proposição: Seja $  I = [a, b]   $ um intervalo e $  f : I \rightarrow \mathbb{R}   $ uma função injetiva e contínua. Então $  f   $ é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente. 
</WRAP>

Podemos provar essa proposição  usando teorema do valor intermediário (Bom Exercício, veja este video [[https://drive.google.com/file/d/1VMIjtKgWcqtNm5C_yoZSE0gZpMvNT39v/view?usp=sharing|este video]]).

Vamos provar o teorema: Suponhamos pela proposição anterior que $  f   $ é estritamente crescente. Observe que $  T: = f(I)  $ também é um intervalo. Isto é, se $   y_1 < y_2   $ são dois pontos de $  T   $ e $  y_1 < y < y_2    $ então $  y \in T.   $ Pois, existem $  x_1 < x_2    $ tais que $  f(x_1)=y_1, f(x_2)= y_2.   $ Agora pelo valor intermediário temos $  x \in [x_1, x_2]    $ tal que $  f(x) =y.    $

Agora para provar continuidade de $  f^{-1}   $ num ponto $  y \in T   $ vamos mostrar que para qualquer sequência $  y_n \in T, y_n \rightarrow y   $ temos $  f^{-1}(y_n) \rightarrow f^{-1}(y).    $

Primeiro vamos assumir que $  y   $ é um ponto no interior do intervalo $   T   $ e $  f(x)=y.    $ Afirmamos que $   x   $ também é um ponto no interior de $I.$ Já que $  y   $ é um ponto no interior, então existe $  \delta > 0   $ tal que $  [y - \delta, y+\delta]   $ está totalmente dentro do $  T    $. Então existem $  x_1, x_2 \in I    $ tais que

$  f(x_1) = y - \delta, f(x_2)=y + \delta.    $

Já que $  f   $ é estritamente crescente, concluímos que $  x_1 < x < x_2   $ e portanto todo o intervalo $  [x_1, x_2]   $  fica dentro de $  I  $ e consequentemente $   x   $ é um ponto no interior do $  I.   $

Agora vamos provar que $  f^{-1}(y_n) \rightarrow f^{-1}(y).    $

Sejam $  x_n= f^{-1}(y_n)    $. Considere dois pontos $  x - \epsilon, x+\epsilon, \epsilon > 0     $ e precisamos mostrar que a existe $  N \in \mathbb{N}   $ tal que

Se $  n \geq N   $ então $  x_n \in ( x - \epsilon, x+\epsilon )   $.

Denotamos por $  y_{b} = f(x-\epsilon), y_{t} = f(x+\epsilon)    $

Pela convergência da sequência $  y_n   $ existe $  N   $ tal que se  $  n > N   $ então $  y_n \in [y_b, y_t]    $. Consequentemente $  x_n \in [x-\epsilon, x+\epsilon]   $.

Caso em que $  y   $ é um ponto extremo do intervalo $  T   $ (se ocorrer) podemos argumentar similarmente, apenas com intervalos com um lado fechado.

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<WRAP  round tip 60%>
Alguns exemplos de inversa de funções
</WRAP>


Inversa de funções trigonométricas: A funções $  sen, cos, tg, cotg, sec, cosec   $ são períodicas e portanto não são injetívas. Porém podemos restringir domínio destas funções onde a função é injetiva.

Por exemplo $  sen : [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] \rightarrow  [-1, 1]   $ é uma função injetiva e sobrejetiva. Portanto podemos definir $  sen^{-1} : [-1, 1] \rightarrow [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]    $ que é uma função contínua também. Na literatura essa função é denotada  por $  Arcsen   $.

De forma similar podemos definir

$  Arccos : [-1,1] \rightarrow [0, \pi]   $
$  Arctg: \mathbb{R} \rightarrow (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})   $
$  Arccotg: \mathbb{R} \rightarrow (0, \pi)   $

Exercício: Defina inversa da função $  sec   $, lembrando que $  sec(x) = \frac{1}{cos(x)}   $