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Enchendo Vaso
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Temos um vaso com formato em figura abaixo. Vamos encher o vaso com água com saindo de uma torneira com velocidade constante.  Qual será o esboço do gráfico da altura da água em função do tempo? Discutiremos, que o gráfico deve ser similar ao gráfico do lado da figura do vaso.

{{ :vaso.png?400 |}}

Claro que a função  $ t \rightarrow h(t)  $ é crescente e precisamos prestar atenção nas alturas importantes  $ a, b, c  $ onde o formato do vaso tem alterações geométrica "considerável".  Vamos supor que  $ h  $ é uma função diferenciável, portanto  $ h^{'}(t) > 0.  $ Vamos analisar a segunda derivada da função. Se num intervalo de tempo, a taxa de crescimento de  $ h  $  for crescente (descrescente), então a segunda derivada é positiva (negativa) e função é convexa (côncava).

No intervalo  $ 0 \leq h \leq a  $ a largura do vaso está crescendo e portanto a taxa de crescimento da altura deve ser decrescente. Neste intervalo a segunda derivada é negativa. Argumentando de forma similar em outros intervalos podemos concluir que o gráfico da função deve ser similar a figura acima.  Observe que também  $ t_a > t_c - t_b  $. Porquê?

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Consumo de Gasolina
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Suponhamos que o consumo de gasolina (litro/hora) de um carro seja função de velocidade e dado pela fórmula  $ c(v) = \frac{1}{400} (v - 50)^2 + 5.  $

Qual é a velocidade com melhor rendimento litro de consumo por kilometro rodado?

Observe que neste problema vamos minimizar a função  $ v \rightarrow q(v)  $ onde  $ q(v)  $ é o consumo por kilometro de gasolina na velocidade dada  $ v.  $ Podemos verificar que

 $ q(v) = \frac{P(v)}{v}.  $ Porquê?

De fato se olharmos para o gráfico da função  $ p  $ para minimizar função  $ q  $ vamos procurar a abcissa do ponto no gráfico da função  $ p  $ tal que a reta passando por este ponto e a orígem tenha menor inclinação possível.

 $ \frac{dq}{dv} = \frac{\frac{dp}{dv}.v - p}{v^2} = \frac{\frac{1}{200}v^2 - \frac{1}{4}v - \frac{1}{400}(v-50)^2 -5}{v^2}  $

e para achar mínimo, vamos resolver  $ \frac{dq}{dv}=0  $ e assim temos:

 $ \frac{1}{400}v^2 - \frac{45}{4}=0  $ e  $ v \sim 67.  $

Observe que o mínimo da função  $ p  $ é obtido na velocidade  $ v=50.  $

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Uma aplicação na  "matemática"

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Mostrem que o produto de dois números reais e positivos ( $ > 0  $) cuja soma é constante terá o valor máximo quando eles são iguais.

A soma de dois números constante:  $ x+y=c  $ então  $ y=c-x  $

Agora o produto deles  $ P = x(c-x)=cx -x^2.  $ Podemos considerar  $ P  $ como função de  $ x.  $ Assim para achar o máximo

calculamos a derivada  $ P^{'}(x)=c-2x  $ e portanto  $ x=c/2  $ é um ponto crítico. Usando teste da segunda derivada podemos verificar que se trata de um ponto máximo.

Observação: Neste problema  $ 0 < x < c.   $ O ponto crítico  $ x = \frac{c}{2}  $ é aceitável. Porém em geral quando achamos máximo local através de ponto crítico de uma função devemos comparar o valor da função com valor nos pontos extremais do domínio da função (aqui  $ (0, c).  $)

É simples ver que  $ P(0)=P(c)=0 < P(\frac{c}{2}).  $

Mostre que dados números reais  $ a_1, a_2 \cdots , a_n  $ então o menor valor de  $ \sum_{i=1}{n} (x-a_i)^2  $ é obtido quando  $ x = \frac{a_1+a_2+ \cdots + a_n}{n}.  $

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Lei de Snell-Descartes
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Para um raio de luz monocromática passando de um meio para o outro, é constante o produto do seno do ângulo, formado pelo raio e pela normal, com o índice de refração em que se encontra esse raio.  :

 $ {\displaystyle n_{1}\cdot \sin \theta _{1}=n_{2}\cdot \sin \theta _{2}} $

onde  $ n_1, n_2  $ são índices de refração nos respectivos ambientes. ou de forma equivalente (uma vez que  $ n_i = \frac{c}{c_i}  $ sendo  $ c  $ velocidade da Luz no vácuo.)

 $ \frac{sen(\theta_1)}{sen(\theta_2)} = \frac{c_1}{c_2}  $ onde  $ c_i, i=1,2  $ são as velocidades de Luz nos meios (1) e (2).


{{ :snell-2.png?600 |}}
Para resolver este problema, vamos escrever o tempo necessário para a luz chegar do ponto A ao ponto B em termos de  $ x  $ (mostrado na figura: distância entre projeção ortogonal do ponto A sobre divisor dos ambientes e o ponto que o raio de luz cruza o divisor dos ambientes.)

 $ T(x) = t_1 + t_2  $ onde  $ t_1 = \frac{\sqrt{x^2 + h_1^2}}{c_1}  $ e  $ t_2 = \frac{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}{c_2}  $

onde  $ h_1, h_2  $ são as distâncias de  $ A, B  $ até o divisor dos ambientes e  $ d  $ é a distância de suas projeções sobre divisor dos ambientes.

 $ T^{'}(x)= \frac{x}{c_1 \sqrt{x^2 + h_1^2}} - \frac{d-x}{c_2 \sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}  $

Manipulando a equação  $ T^{'}(x)=0  $ e usando trigonometria básica obtemos o resultado desejado.