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Seja $  S \subset \mathbb{R}^n$ e $  a$ um ponto no interior do $  S$. Seja $  f: S \rightarrow \mathbb{R}$ tal  que $  \frac{\partial f}{\partial x_i} $ exista para todos os pontos numa bola em torno de $  a. $ Assim podemos verificar a existência das derivadas parciais das funções $  \frac{\partial f}{\partial x_i}$. Para todo $  1 \leq j \leq n$ por definição $  \frac{\partial^2 f}{ \partial x_j \partial x_i}$ é a derivada parcial (com respeito da variável $  x_j $) da função $  \frac{\partial f}{\partial x_i},$ i.e $  \frac{\partial}{\partial x_j} (\frac{\partial f}{\partial x_i}).$

Essa derivada é denotada por diversas formas e todas são chamadas de derivadas parcial de segunda órdem. Para uma função de $  n$ variáveis podemos ter $  n^2$ derivadas parciais de segunda órdem.

As notações $  D_{ij} f(a)$ ou $  \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} (a)$ representam a segunda derivada parcial (primeiramente com respeito da $  x_i$ e depois $  x_j.$)

Teorema (Schwarz, Clairut): Seja $  S \subset \mathbb{R}^n$ e $  a \in S $ um ponto do interior e $  f: S \rightarrow \mathbb{R} $ tal que ambas as derivadas parciais $  \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} $ e $  \frac{\partial^2}{ \partial x_i \partial x_j} $ existem numa bola aberta em torno de $  a$ e contínuas em $  a$, então
 $  \frac{\partial^2}{ \partial x_j \partial x_i} (a) = \frac{\partial^2}{ \partial x_i \partial x_j}(a).$

Exemplo: Seja $  F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)= xe^y - y^2 x^3.$

$  \frac{\partial f}{\partial x} =e^y - 3x^2y^2 , \frac{\partial f}{\partial y} = xe^y - 2yx^3.$

$  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -6xy^2, \frac{\partial^2 f}{ \partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{ \partial y \partial x} = e^y - 6x^2y, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = xe^y - 2x^3. $

Exemplo onde não temos simetria: Considere

$  f(x)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} , (x,y) \neq  (0, 0)$ e

$  f(0, 0)=0.$

Então, Usando definição da derivada podemos ver que $  f_x(0, 0)=0, f_y(0, 0)=0.$ Entretanto, $  f_y(x, 0)=x$, de fato:

$  f_y(x, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x, h) - f(x, 0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{xh(x^2 - h^2)}{ h(x^2 + h^2)} = x.$ Por outro lado,

$  f_x(0, y)= -y$ e então $  f_{xy}(0, 0)=-1$ e $  f_{yx}(0, 0)=1.$

De fato $  f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_y(h, 0)-f_y(0, 0)}{h}= 1.$

Regra da Cadeia:

Lembram da famosa regra da cadeia no cálculo 1?

$  (f \circ g)^{'}(x) = f^{'}(g(x)) g^{'}(x).$

Pois é, a mesma regra vale para funções de várias variáveis! Porém precisamos ter cuidado em aplicar.

Sejam $  S, T$ subconjuntos de $  \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m$ e $  f: S \rightarrow \mathbb{R}^m, g: T \rightarrow \mathbb{R}^p.$ Sejam $  a \in S$ um ponto do interior e $  b=f(a)$ um ponto do interior de $  T$ então se $  g$ e $  f$ forem diferenciáveis respectivamente nos pontos $  a, b$ então 
$  D (g\circ f)(a) = Dg(b). Df(a).$

Observem que $  Df(a)$ é uma matriz $  m \times n$, enquanto $  Dg(b)$ é uma matriz $  p \times m$ e portanto produto delas na órdem que aprecem na fórmula acima faz sentodo e é uma matriz $  p \times n.$

Casos especiais de mais interesse:

Seja $\gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma curva e $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função real. Então

$  f \circ \gamma : I \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função de uma variável real. Pela regra de cadeia

$  (f \circ \gamma)^{'}(t) = Df(\gamma(t)). D\gamma(t).$

Suponhamos que $  \gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$. Então

$  Df(\gamma(t)) = [f_x(\gamma(t)), f_y(\gamma(t))]$ e $  D\gamma(t)$ é uma matriz $  1\times 2$ com entradas $  \gamma_1^{'}(t), \gamma^{'}_2(t)$ e portanto usando regra de cadeia temos

$  (f\circ \gamma)^{'}(t) = f_x(\gamma(t)) \gamma_1^{'}(t) + f_y(\gamma(t)) \gamma_2^{'}(t)$ e isto pode ser escrita de uma forma mais simpática:

$  \nabla f (\gamma(t)) (\gamma_1^{'}(t), \gamma_2^{'}(t)).$

Corolário: "O vetor gradiente é ortogonal as curvas de nível". Isto é, seja $  f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável e considere um ponto $  a$ pertencente a curva de nível $  c \in \mathbb{R}.$ Então pela definição da curva de nível se parametrizarmos a curva (ou considerarmos uma curva dentro da superfície de nível em geral): $  \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $  \gamma(0)=a$, então $f \circ \gamma (t) = c$ para todo $  t \in I$ e por ser uma função constante $  f\circ \gamma$ tem derivada zero:

$  \nabla f(a) . (\gamma_1^{'}(0), \gamma_2^{'}(0)) = 0$

e isto significa que o traço da curva $  \gamma$ é ortogonal ao vetor gradiente $  \nabla f(a)$ no ponto $  \gamma(0)=a.$

Exemplo: Seja $  f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $  z= f(x, y)= x^2 - y^2.$ Podemos considerar coordenadas polares $  (r, \theta)$. Vamos calcular derivada de $  z$ com respeito das variáveis polares $  r, \theta.$

Bem, $  z= r^2 cos^2(\theta) - r^2 sen^{2}(\theta).$ Então:

$  \frac{\partial z}{\partial r} = 2r cos^2(\theta) - 2r sen^2(\theta)= 2r cos(2 \theta).$

$    \frac{\partial z}{\partial \theta} = -2r^2 cos(\theta)sen(\theta) - 2r^2 sen(\theta) cos(\theta)= -2r^2 sen(2 \theta). $

Agoravamos usar regra da cadeia:

$  [\frac{\partial z}{\partial r}  \frac{\partial z}{\partial \theta} ] = [\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}] \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}$

Observem que:

$  \frac{\partial z}{\partial x} = 2x= 2rcos(\theta)$

$  \frac{\partial z}{\partial y} = -2y= -2r sen(\theta)$

$  \frac{\partial x}{\partial r} = cos(\theta)$

$  \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r sen(\theta)$

$  \frac{\partial y}{\partial r} = sen(\theta)$

$  \frac{\partial y}{\partial \theta} = r cos(\theta)$

e portanto:

$  [\frac{\partial z}{\partial r} ,  \frac{\partial z}{\partial \theta}] = [2r cos(\theta) -2r sen(\theta)] \begin{bmatrix} cos(\theta) & -r sen(\theta) \\ sen(\theta)& r cos(\theta) \end{bmatrix} $

$  = [2r cos(2 \theta) ,  -2r^2 sen(2 \theta)].$

Exercício: Considere a superfície $  z=x^2 - y^2$. Interprete geometricamente $  \frac{\partial z}{\partial r} = 0$ para $  \theta= \frac{\pi}{4}.$

Exemplo: Conservação de energia

Considere um sistema regido por leis de Newton tal que no momento $  t$ esteja na posição $  (x_1, \cdots, x_n)$ e velocidade $  (v_1, \cdots , v_n).$ Por exemplo se $  k$ partículas estejam sob força de gravidade, a posição do sistema (de $  k$ partículas) é determinada por $  n=3k$ componentes de posição  e $  3k$ componentes de velocidade. Observe que $  x_1, \cdots, x_n $ e $  v_1, \cdots, v_n $ sõa funções reais de tempo $  t. $

Uma hipótese física: Existe uma função potencial que apenas depende das posições $  U = U(x_1, \cdots, x_n) $ tal que a força é dada por seguinte fórmula:

$  F = (F_1, \cdots, F_n) = (-\frac{\partial U}{\partial x_1}, \cdots, - \frac{\partial U}{\partial x_n}). $

Definimos a função de energia:

$  E(x_1, \cdots, x_n, v_1, \cdots, v_n) = U + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i v_i^2 $

Aqui $  m_i $ são chamados de massa e no exemplo de $  k $ partículas, $  m_1= m_2=m_3 $ representa a massa da primeria partícula ....

A lei de conservação de energia, estabelece que apesar de que $  x_i, v_i $ variam ao longo do tempo, a energia é constante. Isto é:

$  \frac{ dE}{dt} =0. $

Basta usar regra de cadeia e

$  \frac{ dE}{dt} = \frac{\partial E}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial t} + \cdots +  \frac{\partial E}{\partial x_n} \frac{\partial x_n}{\partial t} + \frac{\partial E}{\partial v_1} \frac{\partial v_1}{\partial t} + \cdots + \frac{\partial E}{\partial v_n} \frac{\partial v_n}{\partial t}.$

Agora observe que $  \frac{\partial x_i}{\partial t} = v_i, \frac{\partial v_i}{\partial t} = a_i$ e pela lei do Newton:

$  F = (m_1 a_1, \cdots, m_n a_n)$ e temos:

$  \frac{dE}{dt}= \frac{\partial U}{\partial x_1} v_1 + \cdots + \frac{\partial U}{\partial x_n} v_n + m_1v_1a_1 + \cdots+ m_n a_n v_n=$

$  = (-m_1a_1)v_1 + \cdots+ (-m_n a_n v_n) + m_1v_1a_1 + \cdots+ m_n a_n v_n=0.$

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