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====== Notação Diferencial, integral indefinida ======

Em geral quando temos várias composições de funções, em vez de usar muitos nomes, escrevemos as funções em termos de seus valores. Por exemplo a expressão

$  \frac{sen(x^3 + cos(x^2)) -x}{x^2+1}$

representa uma função cujo domínio é $  \mathbb{R}   $. Se quisermos representar essa função sem usar variável $  x   $ podemos escrever

$  \frac{sen \circ ( (1_{\mathbb{R}})^3 + cos \circ (1_{\mathbb{R}})^2 - 1_{\mathbb{R}}}{(1_{\mathbb{R}})^2 + 1} $

onde $  1_{\mathbb{R}}   $ representa a função identidade $  1_{\mathbb{R}}(x)=x.   $

Claro que esta última forma de escrever é muito mais complicado.

Para escrever integrais também em vez de $  \int_{a}^b{f}   $ podemos escrever qualquer das seguintes formas:

$  \int_{a}^{b} f(x) dx   $ ou $  \int_{a}^{b} f(t) dt   $ ou  $  \int_{a}^{b} f(*) d*   $ que $  *$ pode ser qualquer símbolo.

A notação $  \int_{a}^{b} f(x) dx    $ significa que estamos representando os pontos do intervalo $  [a, b]    $ com variável $  x.    $

Quando escrevemos $  \int_{0}^{\pi/2} cos(sen^2 x + x) dx   $ queremos dizer integral de uma função que dado $  x \in [0, \pi/2]    $ seu valor é $  cos(sen^2 x + x).    $ Podemos escrever a mesma coisa de seguintes formas:

$  \int_{0}^{\pi/2} cos(sen^2 t + t) dt    $

ou mesmo:

$  \int_{0}^{\pi/2} cos \circ ( (sen \circ I_{\mathbb{R}} )^2 + 1_{\mathbb{R}}).    $

Porém se escrevermos $  \int_{0}^{\pi/2} cos(t) dx    $ sem explicitar a relação entre $  t, x    $ temos uma ambiguidade.

Se $  t    $ e $  x    $ forem variáveis independentes, então estamos calculando integral de uma função constante.

Se $  t    $ for uma função de $  x    $, por exemplo, $  t=sen^2(x) + x    $, ai temos outra integral a ser calculada.

Por isto no enunciado do Teorema Fundamental de Cálculo, usamos notação $  \int_{a}^{x} f(t)dt.    $

Geralmente denotamos a(s) primitiva(s) da função $  f    $ por $  \int f    $ ou $  \int f(x)dx    $ e chamamos de integral indefinida.

Entretanto essa notação tem pouco de ambiguidade: Pois se o domínio da função for um intervalo então acrescentando constante teremos outra primitiva. Porém, se o domínio for união de vários intervalos, então para cada intervalo podemos acrescentar um constante diferente!

**Exemplo:** Considere $  f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}    $ com regra $  f(x)=\frac{1}{x^2}.    $

A forma geral da primitiva dessa função é dada por:

$  \int \frac{1}{x^2} dx =  \begin{cases}
-\frac{1}{x} + C_1              & x < 0\\
-\frac{1}{x} + C_2               & x > 0
\end{cases} $

onde $  C_1, C_2   $ são constantes arbitrários.

<color #ff7f27>Quer saber se aprendeu TFC (teorema fundamental de cálculo) e RC (regra de cadeia)? veja abaixo:</color>

Derivar de uma integral

Seja $  f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}   $ uma função contínua e $  F: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}   $ definida como:

$  F(x) = \int_{a}^{x} f    $

Então pelo Teorema Fundamental de Cálculo $  F   $ é diferenciável e $  F^{'}(x)=f(x).   $ Observe que se $  G(x)=\int_{x}^{a} f   $ então $  G^{'}(x)=-f(x).   $

Em algumas situações os limites de integração são funções de $  x   $. Por exemplo suponhamos $  f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}   $ contínua e $  \alpha, \beta : I \rightarrow \mathbb{R}   $ funções diferenciáveis. Definimos $  F(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f   $

Então afirmamos que :

$  F^{'}(x) = \beta^{'}(x) f(\beta(x)) - \alpha^{'}(x)f(\alpha(x)). $

Para provar essa afirmação fixamos um ponto $  c \in \mathbb{R}   $ e escrevemos

$  F(x) = \int_{\alpha(x)}^{c} f + \int_{c}^{\beta(x)} f   $

Vamos achar a derivada de cada um dos termos na soma acima. Por exemplo seja

$  G(x) = \int_{c}^{\beta(x)} f.   $ Se definirmos $  \phi(x) = \int_{c}^{x} f   $ então temos:

$  G(x) = (\phi \circ \beta) (x).   $

Agora, já que ambas $  \beta, \phi   $ são diferenciáveis, pela regra de cadeia

$  G^{'}(x) = \phi^{'}(\beta(x)) \beta^{'}(x) = f(\beta(x)) \beta^{'}(x)   $

e portanto similarmente temos:

$  \frac{d}{dx} (\int_{\alpha(x)}^{c} f) = f(\alpha(x)) \alpha^{'}(x)   $

e concluímos a demonstração.

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