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No primeiro video falamos de duas demonstrações de que limite uniforme de funções integráveis é integrável. Logo em seguida definimos norma sup e demonstramos que o espaço de funções limitadas com essa norma é um espaço normado completo.

Neste video falamos de Teste M de Weierstrass e analisamos como limite de uma sequência de funções diferenciáveis pode ou não ser diferenciável.

Um objetivo principal é entender quando derivada e limite se comutam!?
$$
 (\lim f_n)^{'} = \lim f_n^{'}?
$$

O exemplo $f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}$ mostra que o limite uniforme de uma sequência de funções diferenciáveis pode nem ser diferenciável. O limite é $|x|.$

O exemplo $f_n(x) = \frac{sen(nx)}{\sqrt{n}}$ converge uniformemente a zero porém as derivadas nem convergem.

o Exemplo "bobo" $f_n(x) = (-1)^n$ mostra que a sequência podem nem convergir enquanto as derivadas convergem uniformemente.

<WRAP  round tip 60%>
Lema 1 : Se $f_n^{'}$ converge unifrmemente em $[a, b]$ e $f_n$ converge em algum ponto $x_0 \in [a, b]$ então $f_n$ converge uniformemente em $[a, b].$
</WRAP>
Demonstração: Basta usar teorema de valor médio: De fato vamos mostrar que $f_n$ é uniformemente de Cauchy.
Lembramos que já sabemos que $f_n^{'}$ é uniformemente de Cauchy.

Pela desigualdade triangular e valor médio temos:
$$
 |f_n(x) - f_m(x)| \leq |(f_n-f_m) (x) - (f_n-f_m)(x_0)| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| = |(f_n^{'}-f_m^{'})(\xi)| |x-x_0| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)|.
$$
que pode ser menor do que $\epsilon$ para $n, m$ grande, já que $(f_n-f_m)^{'}$ converge uniformemente a zero. Terminamos a concluir que $f_n$ é uniformemente cauchy e portanto uniformemente convergente.

<WRAP round tip 60%>
Lema 2: Se $f_n$ converge a $f$ e $f_n^{'}$ converge uniformemente entõa para todo $x_0 \in [a, b]$ temos que a convergência abaixo é uniforme:
$$
 \frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} \rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
$$
</WRAP>

Usando estes dois lemas podemos provar que 
<WRAP  round tip 60%>
Teorema: Seja $f_n$ convergindo em algum ponto de $[a, b]$ e $f_n^{'}$ convergindo uniformemente a $g$, então $f_n$ converge uniformemente a $f$ e $f^{'}=g$.
</WRAP>

Demosntração: (argumento $3\epsilon$!)
$$
 |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - g(x_0)| \leq |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}- \frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}|  +  |\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0} - f_n^{'}(x_0)| + |f_n^{'}(x_0) - g(x_0)|.
$$

<WRAP  round box 60%>
Exercício: Existe uma sequência $f_n$ de funções diferenciáveis  convergindo uniformemente a $f$ também diferenciável e que $f_n^{'}$ converge pontualmente a $g$, porém $g \neq f^{'}.$
</WRAP>

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