✎ medida:tusca []

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Calculamos a probabilidade de $n$ pessoas com chapeus  diferentes irem para festa tusca e após o voo de chapeus (folklore de tusca é com chinelos) ninguém recuperar seu próprio chapeu. Observe que as pessoas jogam seus chapéus para o ar e recuperam algum  chapéu aleatório.

Você sabia que essa probabilidade tende  a $\frac{1}{e}$ quando número de pessoas fica grande! Essa probabilidade é quase 37%. Veja [[https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement|aqui]].

De fato, seja $A_i$ representar as configurações nas quais $i$'ésima pessoa acerta seu chapeu. Então $|A_i| = (n-1)!$ e $A_{ij}, i \neq j$ configurações as duas pessoas $i, j$ acertarem seus chapeus: $|A_{ij}| = (n-2)!$ ... Observe que estamos buscando a cardinalidade de complemento da $\bigcup_{i=1}^{n} A_i$ e para tal vamos calcular $|\bigcup_{i=1}^{n} A_i|$:
$$
|\bigcup_{i=1}^{n} A_i| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{i < j} |A_{ij}| + \cdots + (-1)^{n-1} |A_{123\cdots n}|
$$
$$
 = n (n-1)! - { n \choose 2} (n-2)! + \cdots = n! - \frac{n!}{2!} + \frac{n!}{3!}- \cdots
$$
e portanto a probabilidade de ninguem acertar seu chapeu é
$$
\frac{1}{n!} (\frac{n!}{2!} - \frac{n!}{3!}+ \cdots)
$$
e quando $n$ tende ao infinito a série acima tende a $e^{-1}.$

Agora o problema de Tusca de verdade: $n$ pessoas jogam seus chinelos para o ar e recuperam aleatóriamente dois chinelos (pode ser dois de esquerdo ...). qual é a probabilidade de ninguem acertar seu par de chinelos. 
Qual é limite desta probabilidade quando $n$ tende ao infinito?

Neste caso temos $2n$ chinelos e a número de configurações de $i$'ésima pessoa acertar o par de chinelos é: $\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}}$. A probabilidade que $i$- ésima pessoa pegar seu par correto de chinelos é: $$\frac{1}{n(2n-1)}.$$
Interprete o número como probabilidade ou use $\frac{\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}}}{\frac{(2n)!}{2^{n}}} = \frac{1}{n(2n-1)}.$

Agora calculamos a probabilidade de que $i, j$ acertem seu par de chinelos: é igual $2^2 \frac{(2n-4)!}{(2n)!}$...

A probabilidade de que alguem acerte seu par de chinelos é:

$$
\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} 2^k \binom{n}{k} \frac{(2n-2k)!}{(2n)!}
$$

<WRAP  round tip >
Observação: o evento de ninguem acertar o chinelo esquerdo não é independente de ninguem acertar o pé direito.
</WRAP>

~~DISCUSSION~~

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