✎ medida:espacodemedida []

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Bem vindos ao espaço de medida: Aqui precisamos de um espaço que essencialmente pode ser qualquer conjunto (que poderia ser um grupo, espaço topológico,...) e além do espaço $X$ precisamos de uma sigma-álgebra $\mathcal{B}$:

Lembrete:  $\mathcal{B} \subset \mathcal{p}(X)$ é sigma álgebra se:
  - $\emptyset \in \mathcal{B}$
  - $A \in \mathcal{B}$ então $A^c \in \mathcal{B}$
  - $A_i, i=1, \cdots \in \mathcal{B}$ então $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{B}.$

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Exercício: Mostre que se $E_i \in \mathcal{B}$ então $\limsup E_i, \liminf E_i \in \mathcal{B}.$
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Além de sigma álgebra, precisamos de uma medida que "mede" o tamanho dos conjuntos em $\mathcal{B}$ que serão chamados conjuntos mensuráveis. Uma medida $\mu : \mathcal{B} \rightarrow [0,\infty]$ tem que ser enumerávelmente aditiva e $\mu(\emptyset)=0.$ Com aditividade referimos:

Se $A_i$ uma quantidade enumerável de subconjuntos disjuntos em $\mathcal{B}$ então $\mu(\bigcup A_i) = \sum \mu(A_i).$

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$\sigma-$álgebra gerada por uma coleção
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Dada uma coleção $F \subset \mathcal{P}(X)$ denotamos por $\sigma(F)$ a sigma álgebra gerada por $F$ que é a intersecção de todas as sigma-álgebras que contém $F.$

Exemplo: Considere Todos os conjuntos de medida de Lebesgue exterior zero ou com complemento com medida exterior de Lebesgue zero. Então essa coleção é uma sigma-álgebra e portanto é a sigma-álgebra gerada por conjuntos de medida exterior Lebesgue nulo.

Alguns exemplos simples; Medida de Dirac, restrição de medidas, medida de contágem,

Sejam $\mu_i$ medidas então $\sum \mu_i$ também é uma medida.

====== Medida e sequência de conjuntos ======

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 Sejam $E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset \cdots$ uma sequência crescente, então 
$$
 \mu(\cup E_i) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu(E_i)
$$
e se $E_i$ é uma sequência decrescente de conjuntos e $\mu(E_n) < \infty$ para algum $n$, então 
$$
 \mu(\cap E_i) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu(E_i)
$$
</WRAP>

Para provar a segunda afirmação suponhamos que $n=1$ e temos:  
$E_1 = \bigcup_{i=1}^{\infty} (E_i \setminus E_{i+1}) \cup \cap_{i=1}^{\infty} E_i$
usando aditividade da medida temos:
$$
 \mu(E_1) = \mu(E_1) - \lim_{i \rightarrow \infty} m(E_i) + \mu(\cap_{i=1}^{\infty} E_i)
$$
e já que $\mu(E_1) < \infty$ podemos cancelar de dois lados da equção acima  e concluímos o resultado.

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Considere $E_n = \mathbb{R} \setminus ([n, \infty) \cup (-\infty, -n])$ verifique que este exemplo mostra que a hipótese de $\mu(E_1) < \infty$ era necessário no argumento acima.
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Lembramos que dada uma sequência $E_i \subset X$ o limite existe quando $$\limsup E_i = \liminf E_i$$

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Exercício: Mostre que $\lim_{i \rightarrow \infty} E_i = E$ se somente se $1_{E_i}$ converge pontualmente a $1_{E}.$ Observe que $1_{E_i} : X \rightarrow R$ é a função característica de $E_i.$ 
</WRAP>

<WRAP  round info >
Exercício: Mostre que se $\lim E_n = E$ então $\limsup_{n \rightarrow \infty} (E_n \Delta E) = \emptyset.$
</WRAP>
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<color #ff7f27>Teorema (convergência dominada para conjuntos)</color>: Sejam $E_n, n=1,2, \cdots$ mensuráveis e existe $F \in \mathcal{B}$ com medida finita, $\mu(F) < \infty$ tal que $E_i \subset F$ para todo $i$ , então $$ \lim \mu(E_n) = \mu(\lim E_n).$$ Claro que estamos assumindo que o limite de $E_n$ existe.
</WRAP>

Demonstração:  
Já que $E_n \subset F$ e que $\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E$  é uma sequência decrescente e sempre tem medida finita e portanto $0 = \lim_{N \rightarrow \infty} \mu(\bigcup_{n \geq N} E_n \Delta E)$. Portanto $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N \Delta E) = 0$ e agora não é dificil ver que isto implica que $\lim_{N \rightarrow \infty} \mu(E_N) = \mu(E).$ De fato 
$$ |\mu(E) - \mu(E_N)| \leq \mu(E \Delta E_N).$$

Exercício: No teorema acima realmente precisamos que $E_n \subset F$ com $F$ de medida finita. Mostre com um exemplo que não poderiamos assumir apenas que $\mu(E_n) < \infty.$

~~DISCUSSIONS~~

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