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Critério da segunda derivada: Seja  $ f  $ uma função definida num intervalo em torno de  $ a  $ e duas vezes diferenciável no ponto  $ a  $ e além disto  $ f^{'}(a)=0  $ (ou seja  $ a  $ é um ponto crítico). Então:

Se  $ f^{''}(a) > 0  $ então  $ a  $ é um ponto mínimo local,
Se  $ f^{''}(a) < 0  $ então  $ a  $ é um ponto máximo local.

Observação: Se "por azar"  $ f^{''}(a) =0  $ não podemos afirmar nada a não ser que tenhamos alguma informação sobre outras derivadas. Vamos ver no final desta página.

Demonstração: Utilizamos polinômio de Taylor de segundo grau  $ P_2(x)  $ e sua propriedade fundamental:

 $ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-P_2(x)}{(x-a)^2} =0.  $

Lembramos que (usando a hipótese  $  f^{'}(a)=0.  $):

 $ P_2(x) = f(a) + (x-a)f^{'}(a) + \frac{1}{2} (x-a)^2  f^{''}(a) = f(a) + \frac{1}{2} (x-a)^2  f^{''}(a) $

Portanto concluímos que:

 $ \lim_{x \rightarrow a } \frac{f(x)- f(a)}{(x-a)^2} - \frac{f^{''}(a)}{2} =0.   $

Sendo assim temos:

Se  $ f^{''}(a) > 0  $ para todo  $ x  $ suficientemente próximo ao ponto  $ a  $          $ \frac{f(x)- f(a)}{(x-a)^2} >0   $ e portanto para tais  $ x  $ temos que  $ f(x) > f(a).  $ Isto significa que  $ a  $ é um mínimo local.
Se  $ f^{''}(a) < 0  $ para todo  $ x  $ suficientemente próximo ao ponto  $ a  $          $ \frac{f(x)- f(a)}{(x-a)^2} < 0   $ e portanto para tais  $ x  $ temos que  $ f(x) < f(a).  $ Isto significa que  $ a  $ é um máximo local.

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Uma interpretação geométrica: Concavidade do gráfico de uma função.

Teorema: Seja  $ I  $ um intervalo e  $ f: I \rightarrow \mathbb{R}  $ duas vezes diferenciável e sua segunda derivada seja positiva (negativa) no intervalo  $ I  $. Então dado qualquer ponto  $ a  $ no interior de  $ I  $, então se  $ x \neq a  $ temos  $ (x,f(x))  $ está acima (abaixo) do ponto  $ (x, L(x))  $ onde  $ L(x)  $ é a ordenada do ponto na reta tangente ao gráfico da função no ponto  $ a.  $

No primeiro caso temos:

 $ f(x) > f(a) + f^{'}(a)(x-a)  $

e no segundo caso:

 $ f(x) < f(a) + f^{'}(a)(x-a).  $

O resultado acima dá uma informação sobre concavidade do gráfico da função no intervalo  $ I.  $ No caso segunda derivada positiva a função é chamada convexa (ou concavidade para cima) e se a segunda derivada for negativa a função é chamada de côncava (ou concavidade para baixo).

Demonstração:

Basta lembrar o teorema de valor médio adaptado:

 $ f(x) - (f(a) + f^{'}(a)(x-a) = \frac{1}{2} f^{''}(c)(x-a)^2  $ para algum ponto entre  $ a  $ e  $ x  $.

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Ponto de inflexão:

Seja  $ a < b < c  $ e o sinal da segunda derivada da função  $ f  $ no intervalo  $ (a, b)  $ seja oposto do sinal no intervalo  $ (b, c)  $ então o ponto  $ b  $ é chamado de ponto de inflexão.

Se a segunda derivada for uma função contínua, claro que  $ f^{''}(b) =0.  $

na figura abaixo o ponto  $ x=0  $ é o ponto de inflexão da função cúbica  $ f(x)=x^3.  $ Observe que  $ f^{''}(x)=6x  $ que tem sinal oposto em torno do ponto  $ x=0.  $

Cuidado: 

Um ponto onde segunda derivada é zero não é necessáriamente ponto de inflexão. Por exemplo se  $ f(x)=x^4  $ claramente  $ f^{''}(0)=0  $ mas pelo fato de que  $ f^{''}(x)=12x^2  $ não temos alteração do sinal da segunda derivada em torno do ponto  $ x=0.  $ (veja o gráfico para acreditar que não existe nenhuma inflexão!)

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Teste de resistência! (Para curios@s)

Suponhamos que  $ x=a  $ é um ponto crítico e  $ f^{''}(a)=0.  $ Assim não podemos aplicar o teste da segunda derivada. Vamos olhar para terceira derivada se existir.

Se  $ f^{'''}(a) >0  $ então podemos concluir que  $ a  $ não é um ponto máximo ou mínimo local.

 $ f(x)= f(a) + \frac{(x-a)f^{'''}(a)}{3!} + Err(x)  $ onde  $ \frac{Err(x)}{(x-a)^3} \rightarrow 0  $ quando  $ x \rightarrow a.  $

portanto

 $ \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^3} > 0  $ para  $ x  $ muito próximo de  $ a.  $

Analisando sinal do numerador e denominador concluímos que  $ x=a  $ não é mínimo, nem máximo.

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suponhamos que a terceira derivada também se anular. Resistimos! olhamos para derivada de órdem quatro,  $ f^{(4)}(a).  $ Usando polinímio de grau quatro concluímos que:

se  $ f^{(4)}(a) > 0   $ então  $ a  $ é mínimo local.
se  $ f^{(4)}(a) < 0   $ então  $ a  $ é máximo local.

e se a quarta derivada anular....

Teste de derivada de órdem k:

Seja  $ f  $ uma função  $ k  $ vezes diferenciável num ponto  $ a  $ no interior de seu domínio e que  $ f^{(i)}(a)=0, i=1,2,...k-1  $ e  $ f^{(k)}(a) \neq 0.  $ então:

Se  $ k  $ for par, dependendo se  $ f^{(k)}(a) > 0  $ ou  $ f^{(k)}(a) < 0  $,  $ a  $ é um mínimo local ou máximo local.
se  $ k  $ for ímpar, então o ponto  $ a  $ não é nem máximo, nem mínimo local.