✎ lebesgueborel []

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como provamos (Aqui): uma função limitada é Lebesgue mensurável se somente se for Lebesgue mensurável.
Entretanto existem exemplos de funções <color #7092be>contínuas</color> para as quais existem conjuntos mensuráveis cuja pré-imagem não é mensurável! Portanto existem funções até Riemann integráveis que pré-imagem de Lebesgue mensurável não é Lebesgue mensurável. Por isto, a definição de uma função Lebesgue mensurável foi de forma que pré-imagem de Borel é Lebesgue mensurável.

Exemplo: Existem uma função contínua (alias homeomorfismo) de intervalo ao intervalo $f : I \rightarrow I$ tal que $f(C_0) = C$ onde $C_0, C_1$ são conjuntos de Cantor respectivamente de medida de Lebesgue zero e positiva.

Agora, dado um conjunto de medida positiva $C$ existe um sub-conjunto não mensurável $V \subset C$. Portanto $f^{-1}(V) \subset C_0$ e portanto é mensurável. Agora considere $g = f^{-1}$ que é uma função contínua e $g^{-1} (f^{-1}(V)) = V$!

Para mostrar que todo conjunto de medida positiva tem um sub-conjunto não mensurável, basta considerar $I= \cup_{r_i \in \mathbb{Q}} V_{r_i}$ união por translações de conjunto de Vitali não mensurável. Afirmamos que existe $r_i$ tal que $m^*(V_{r_i} \cap C) > 0.$ Por efeito, pela subsditividade de medida exterior isto é verdade. Claramente para tal $r_i$, $V_{r_i} \cap C$ não pode ser mensurável. Pois se for mensurável $m(V_{r_i} \cap C) > 0$ e a união das translações de $V_{r_i} \cap C$ tem que ter medida infinita que é um absurdo!

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