✎ implicita []

You've loaded an old revision of the document! If you save it, you will create a new version with this data.

Teorema da Função implicita:

Seja $f: U \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m$. Suponhamos que 
$f(x_0, y_0) = z_0$ para algum $(x_0, y_0) \in U$. Se $f$ for $C^r, 1 \leq r \leq \infty$ e $B = [\frac{\partial f_i (x_0, y_0)}{\partial y_j}]$ é inversível então existe uma (única) função $C^r$ $g : V \rightarrow \mathbb{R}^m$ tal que $f(x, g(x)) = z_0$ para todo $x \in V$ onde $V \subset \mathbb{R}^n$ é uma vizinhança de $x_0.$
<WRAP center round important 60%>
Sobre hipótese $C^1$
</WRAP>
A hipótese $C^1$ não é necessária para obter uma solução $g$. De fato basta assumir ([[https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.517.4815&rep=rep1&type=pdf|External Link]]):
  * $f(x , .)$ é contínua para todo $x$
  * $f$ é diferenciável em $(x_0, y_0)$ (<color #ed1c24>Apenas neste ponto!</color>)
  * $det [\frac{\partial f_i (x_0, y_0)}{\partial y_j}] \neq 0$

e ai temos uma função $g$ como no teorema de função implicita (não afirmamos única solução $g$) e 
$$
 Dg_{x_0} = - \partial_y f^{-1} (x_0, y_0) \circ \partial_x f(x_0, y_0). 
$$

<WRAP  round box 20%>
Exemplo 1
</WRAP>

Considere \[ 
f(x,y) = \begin{cases} x+y, &\text{se} \, x+y \neq 0; \\
x^2+y^2, & \text{outros casos}
\end{cases} 
\]

Podemos verificar que $f(x, .) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ não é contínua em $0$ para $x \neq 0$. Apesar de $f$ ser diferenciável em $(0, 0)$, ($Df_{(0, 0)} = [1 , 1]$) este ponto é o único ponto tal que $f(x, y) = 0$ e portanto não existe função $g$ como afirmada no teorema.

<WRAP  round box 20%>
Exemplo 2
</WRAP>

Considere \[ 
h(y) = \begin{cases} \frac{y}{2} + y^2 sin(\frac{1}{y}), &\text{se} \, y \neq 0; \\
0, & \text{y=0}
\end{cases} 
\]
e seja $f(x, y) = x - h(y).$ Então $f(0, 0)=0$ e $f$ é diferenciável em $(0, 0)$ porém a derivada não é contínua. Observamos que para achar $g$ tal que $f(x, g(x)) =0$ basta $x= h(g(x))$, i.e $g$ é inversa direita da função $h.$ 
A função $h$ não é inversível em nenhuma vizinhança de $0$. De fato existem uma sequência $x_n \rightarrow 0$ tal que $h^{'}(x_n) = 0, h^{''}(x_n) < 0.$ Portanto não existe única função $g$ satisfazendo $f(x, g(x))=0.$
{{youtube>WM7Fb8XqZD4?small}}

Edit summary

Note: By editing this page you agree to license your content under the following license: CC Attribution-Share Alike 4.0 International