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Gráfico de funções:

Para esboçar gráfico de uma função (quando não temos geogebra disponível!) vamos primeiramente averiguar o domínio da função.

Em seguida os pontos críticos e averiguar pontos máximo, mínimo, inflexão. Para tal, precisamos fazer uma tabelinha de sinal das derivadas. Se acharmos pontos da interseção com eixo  $ x  $ (pode ser impossível ou difícil) e eixo  $ y  $ podemos ter uma precisão melhor.

Finalmente, vamos procurar possíveis assíntotas horizontais, verticais e oblíquas da função.

Exemplos:

Seja  $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^4 -x^3.  $ Esboce o gráfico da  $ f.  $

Claro que domínio da  $ f  $ é toda reta real. Vamos calcular derivadas:

$ f^{'}(x)=4x^3-3x^2, f^{''}(x)=12x^2-6x.  $

Assim concluímos que  $ x=0, \frac{3}{4}  $ são pontos críticos (onde a derivada se anula.) Pelo sinal da segunda derivada e teste da segunda derivada, o ponto  $ \frac{3}{4}  $ é mínimo local. enquanto o ponto  $ x=0, \frac{1}{2}  $ são pontos de inflexão.

É fácil ver que essa função não admite nenhuma assíntota.

Outro exemplo:

Esboce o gráfico da função  $ f  $ dada pela equação  $ f(x)= x^2 sen(\frac{1}{x})  $ se  $ x \neq 0  $ e  $ f(0)=0.  $ Ou seja a reta tangente no

ponto  $ x=0  $ ao gráfico da função é horizontal.

Em todos os pontos exceto  $ x=0  $ é fácil ver que a função é diferenciável. Verificaremos que no ponto  $ x=0  $ também temos derivada. De fato anteriormente haviamos calculado  $ f^{'}(0)=0.  $ Para todos   $ x \neq 0  $:

$ f^{'}(x)= 2x sen(1/x) - cos(1/x)  $

Para achar pontos críticos observe que se  $ f^{'}(x)=0  $ então  $ tg(1/x)=\frac{1}{2x}.  $

Afirmação: Existem  $ t_n \rightarrow \infty  $ tais que  $ tg(t_n)= \frac{t_n}{2}, tg(-t_n)= \frac{-t_n}{2},    $

Observe que isto implica que a  sequência  $ x_n = \frac{1}{t_n}  $ converge a zero e  $ x_n, -x_n  $ são pontos críticos.

Além disto, o sinal da derivada numa vizinhança pequena destes pontos altera:

$ f^{'}(x)= (2xcos(1/x)) (tg(1/x) - \frac{1}{2x})  $

em cada ponto  $ x_n  $ o segundo fator é zero e muda de sinal numa vizinhança pequena e o primeiro fator não altera sinal.

Portanto os pontos  $ x_n  $ são alternadamente pontos máximo e mínimo local.

Para ter uma precisão maior observe que  $ |sen(1/x)| \leq 1  $ e portanto

$ -x^2 \leq f(x) \leq x^2.  $

A prova da afirmação:  Basta observar que o gráfico da função  $ t \rightarrow tg(t)  $ e  $ t \rightarrow t/2  $ se cruzam em infinitos pontos.

Exercício: Considere  $ f(x)= \frac{x}{2}+ x^2sen(1/x), x \neq 0  $ e  $ f(0)=0.  $ Mostre que  $ f^{'}(0) > 0  $ porém em nenhum intervalo em torno do ponto  $ x=0  $ a função não é crescente!

Lembrem que se num intervalo a derivada for positiva, então a função é crescente!
Neste exemplo apenas verificamos a positividade da derivada no ponto zero.

Pode esbocar o gráfica da  $ f?  $

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