✎ gamma []

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===== Função $  \Gamma $ =====

Vamos construir uma função $  \Gamma: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$  tal que para todo $  n \in \mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2\times 1. $

Considere seguinte integral imprópria

$  \int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} dt. $

Observe que essa integral é convergente. De fato, $  \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{t^n}{e^{\frac{t}{2}}} =0 $ e portanto para $  t $ suficientemente grande temos que $  t^n < e^{\frac{t}{2}} $ e já que $  \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{t}{2}} $ é convergente, pelo teste de comparação, $  t^n e^{-t} < e^{-\frac{t}{2}} $ para $  t $ grande, concluímos que $  \int_{0}^{\infty} t^n e^{-t} dt < \infty. $

Vamos aplicar integração por partes:

$  \int_{0}^{A} t^n e^{-t} dt = -t^n e^{-t}|_0^{A} + \int_{0}^{A} nt^{n-1} e^{-t} dt$

$  = - \frac{A^n}{e^A} + n \int_{0}^{A} t^{n-1} e^{-t} dt.$

Já que $  \lim_{A \rightarrow \infty} \frac{A^n}{e^A}=0 $ concluímos que

$  \int_{0}^{A} t^n e^{-t} dt = n \int_{0}^{A} t^{n-1} e^{-t} dt. $

Agora se repetirmos este processo, trocando $  n$ por $  n-1$ e assim por diante teremos:

$  \int_{0}^{A} t^n e^{-t} dt = n! \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = n!  $

<color #ff7f27>Inspiramos desta integral e definimos</color>

$  \Gamma: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}; \Gamma(x):= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt. $

De fato para $  x \geq 1$ temos uma integral imprópria da primeira categoria que converge por critério de comparação como explicamos acima.

Se $  x < 1$ temos  $  \int_{0}^{1} t^{x-1} e^{-t} dt + \int_{1}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt.$

Observe que a primeira parte da soma é uma integral imprópria de segunda categoria.

Para $  t > 0$ temos : $  \frac{e^{-t}}{t^{1-x}} < \frac{1}{t^{1-x}}$ e já que $  0 < 1-x < 1$ e $  \int_{0}^{1} \frac{1}{t^{1-x}} dt$ converge, pelo critério de comparação $  \int_{0}^{1} t^{x-1} e^{-t} dt$ também converge. A segunda parcela da soma também converge como provamos anteriormente. Assim é legítimo definir a função $  \Gamma: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ e usando integração por partes $  \Gamma(x+1)= x \Gamma(x).$

Observamos que $  \Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt =1, \Gamma(2)=1$ e $  \Gamma(n+1)= n!$.

É curioso calcular alguns outros valores da função $  \Gamma.$

Exemplo: Calcule $  \Gamma(\frac{1}{2}).$

Pela definição $  \Gamma(\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-t} dt. $ Usando mudança de variável $  t=u^2 $ temos

$  \Gamma(\frac{1}{2}) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du $

Agora não se desesperem! A primitiva da função $  e^{-u^2} $ é impossível! Algum momento da vida quando aprendemos métodos mais sofisticados podemos calcular $  \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ e portanto

$  \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}. $

A função Gamma é muito poderosa e em particular dá para usar essa função para mostrar uma fórmula maravilhosa chamada fórmula de Stirling

$  n! \sim (\frac{n}{e})^n \sqrt{2\pi n}$

que isto quer dizer:

$  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{(\frac{n}{e})^n \sqrt{2\pi n}} =1.$

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