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Prazo para entregar 15 de novembro.
1. Seja $f : U \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ uma função diferenciável com $Df_a$ injetiva para todo $a \in U$. Mostre que gráfico de $f$ é uma superfície e ache sua dimensão. Ache uma base para espaço tangente de um ponto específico no gráfico.

2. Podemos cobrir a faixa de Moebius com duas cartas de parametrização? Qual é a condição para que uma superfície que possui um atlas com duas cartas seja orientável?

3. (Partição de unidade) Seja $A \subset \mathbb{R}^n$ e $\mathcal{O}$ uma cobertura de $A$ por conjuntos abertos. Então prove que existe uma coleção $\Phi$ de funções $\phi \in C^{\infty}$ definidas num aberto contendo $A$ satisfazendo seguintes propriedades:
  * Para todo $x \in A, 0 \leq \phi(x) \leq 1$
  * Para todo $x \in V$ existe uma vizinhança $V$ tal que exceto um número finito de $\phi$'s toda função em $\Phi$ se anula em $V$.
  * $\sum_{\phi \in \Phi} \phi(x) =1$. Observe que pelo segundo item essa soma é finita.
  * Para todo $\phi \in \Phi$ existe $U \in \mathcal{O}$ tal que $\phi=0$ fora de um conjunto fechado dentro de $U$.

Para resolver exercício veja livro de Spivak (Calculus on manifolds) e tenta completar os passos que ele não demonstra e deixa como exercício.

4. Seja $M \subset \mathbb{R}^n$ uma hiperfície orientável. Mostre que existe $A \subset \mathbb{R}^n$ e uma função diferenciável $g : A \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $M = g^{-1}(0).$ Dicas (Spivak): Primeiramente prove isto localmente (lembrem que nossa definição de superfície já implicava essa parte local) e ai use partição de unidade e orientação para completar a demonstração.

Prazo de entrega 27 de novembro, 23:59.
Exercícios 8 e 9 do livro do Manfredo.

Prazo de entrega: 21/10, 23:59

1. Seja $\phi_1, \cdots , \phi_k$ $1-$formas. Mostre que $\phi_1 \wedge \cdots \wedge \phi_k (v_1, \cdots, v_k) = det[\phi_i(v_j)]$.

2. Dado $k-$forma $\omega$ em $\mathbb{R}^n$ definimos $(n-k)-$forma $*\omega$ como a seguir:
$$
*(dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k})= (-1)^{\sigma} dx_{j_1} \wedge \cdots \wedge dx_{j_{n-k}}
$$
onde $i_1 < i_2 \cdots < i_k$ e $j_1 < j_2 \cdots < j_{n-k}$ e $\sigma$ é a permutação correspondente ao arranjo $(i_1, i_2, \cdots, j_1, \cdots, j_{n-k}).$ Extendemos $*$ de forma linear ao conjunto de todas as $k-$formas. Esse operador é chamado de Hodge *.

- Se $\omega = a_1 dx_1 + a_2 dx_2$ é $1-$forma em $\mathbb{R}^2$ então $*\omega = a_1 dx_2 - a_2 dx_1.$
  - $ ** \omega = (-1)^{k(n-k)} \omega.$

3. Seja $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável dada por $f(x_1, \cdots, x_n) = (y_1, \cdots, y_m)$. Seja $\omega = dy_1 \wedge \cdots , \wedge dy_n$. Mostre que 
$$(f^* \omega)_p = det(Df_p) dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n$$

4. Um campo vetorial $v$ em $\mathbb{R}^n$ pode ser visto como uma função $v: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$. Definimos $div (v)(p) = tr (Dv_{p})$. 
  - Mostre que se $v = \sum a_i e_i$ então $div(v) = \sum \frac{\partial a_i}{ \partial x_i}$
  - Se $\omega$ for $1-$forma diferencial obtida pelo campo $v$ e o produto interno usual (i.e $\omega_p(w) = <v(p), w>$) e $\eta$ a forma de volume em $\mathbb{R}^n$ ($\eta(e_1, \cdots, e_n) =1$ para $e_i$ base canonica)então $$ d(*\omega) = (div(v)) \eta$$

Entregar até 25 de setembro 23:59

1. Seja $\omega \in \Lambda^2(V^*).$ Por definicão o posto de $\omega$ é $k$ se $\omega^k \neq 0, \omega^{k+1}=0.$ Mostre que se $\omega = e_1 \wedge f_1 + \cdots + e_k \wedge f_k, e_i, f_i \in V^*$ então posto de $\omega$ é menor ou igual a $k.$ Dê exemplo para casos que ocorre igualdade.

Um $k-$tensor é simétrico se $T^{\sigma} = T$ para todo $\sigma \in S_k.$ Denotamos por $\mathcal{S}^k(V)$ todos os $k-$tensores simétricos.

2. Mostre que $\mathcal{S}^k(V) < \mathcal{I}^k(V)$ e dê exemplo que $\mathcal{S}^k(V) \neq \mathcal{I}^k(V).$

3. Calcule $dim(\mathcal{S}^k(V)).$

4. Seja $f \in A^{r-1}(V)$, $(r-1)-$ linear e alternada. Defina $g \in L^r(V)$ pondo $g(x_1, \cdots, x_r) = \sum_{i=1}^{r} (-1)^i f(x_1, \cdots, \hat{x_i}, \cdots, x_r). x_i$, onde $\hat{x_i}$ significa omissão de $x_i.$ Prove que $g \in A^r(V).$

5. Seja $V$ um espaço vetorial de dimensão $n$ e $W < V$ subespaço de dimensão $k.$ Considere $U = V/W$ que tem dimensão $n-k.$ Sejam $i: W \rightarrow V$ inclusão e $\pi: V \rightarrow U$ a projeção natural. Suponhamos que $U$ e $V$ estão orientadas. Seja $\mu \in \Lambda^{n-k}(V^*)_+$ e $\omega \in \Lambda^n(V^*)_+$. Mostre que existe $\nu \in \Lambda^{k}(V^*)$ tal que $\pi^* \mu \wedge \nu = \omega.$ Além disto $i^* \nu$ não depende de $\nu$ e pertence a $\Lambda^k(W^*)_+.$

Entregar até 06 de setembro 23:59.

1. Seja $V$ um espaço vertorial e $(V^{*})^{*}$ é o dual duplo. Para todo $v \in V$ defina $ev_{v} : V^{*} \rightarrow \mathbb{R}$ de seguinte maneira: $ev_v(l):=l(v).$ Mostre que 
 $$ ev : V \rightarrow (V^{*})^{*}, ev(v):= ev_{v}
 $$ é um isomorfismo quando $dim(V) < \infty. $

2. Seja $W < V$ ($dim(V) < \infty$) e $W^{\perp}:=\{l \in V^{*}: l(w)=0 , \quad \text{para todo} \quad w \in W\}.$ Mostre que $W^{\perp}$ é um subespaço de dimensão $dim(V) - dim(W).$

3. Sejam $V, V^{'}$ espaços vetoriais e $A: V \rightarrow V^{'}$ linear. Mostre que se $W < Ker(A)$ então existe uma transformação linear $B : V/W \rightarrow V^{'}$ tal que $A = B \circ \pi$. Quando $B$ é injetora? Prove.

4. Seja $W < V$ e $dim(V) < \infty$ e $i:W^{\perp} \rightarrow V^{*}$ a inclusão. Portanto definimos 
$$
 i^{*} : (V^{*})^{*} \rightarrow (W^{\perp})^{*}
$$
Agora podemos definir $i^{*} \circ ev : V \rightarrow (W^{\perp})^{*} $. Mostre que essa transformação é sobrejetora e seu núclero é $W.$ Agora usando exercício anterior mostre que existe uma bijeção natural entre $V/W$ e $(W^{\perp})^{*}$.

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