✎ exercicio3 []

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1. Considere $D_N(x) = \sum_{-N}^{N} e^{inx}.$ Mostre que $D_N(x) = \frac{sen(N+\frac{1}{2})x}{sen(x/2)}$. Usando este mostre que 
$$
 s_N(f, x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)D_N(t) dt.
$$
onde $s_N(f, x) = \sum_{-N}^{N} c_n e^{inx}$ é a soma parcial deFourier da função $f.$

2. Mostre que se para algum $x$ existem $\delta, M > 0$ tais que 
$$
 |f(x+t)-f(x)| \leq Mt , |t| < \delta
$$
então $\lim_{N \rightarrow \infty} s_N(f, x) = f(x).$ Em particular se $f$ é diferenciável com derivada contínua no ponto $x$ então a série de Fourier converge ao valor da função neste ponto.

3. Mostre que $\sum \frac{1}{p_i}$ diverge onde $p_i$ são números primos.
Dica: Dado $N$ sejam $p_1, \cdots, p_k$ os números primos que são fator de algum número menor do que $N$.
Então mostre que 
$$
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \leq \prod_{j=1}^{k} (1 + \frac{1}{p_j} + \frac{1}{p_j^2} \cdots )$$
$$
 \leq exp \sum_{j=1}^{k} \frac{2}{p_j}.
$$
que a última desigualdade vem $(1-x)^{-1} \leq e^{2x}, 0 \leq x \leq 1/2.$

4. Considere $f(x)=x, 0 \leq x < 2\pi.$ Usando teorema de Parseval mostre que 
$$
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.
$$

5. Seja $f(x) = (\pi - |x|)^2$ sobre $[-\pi, \pi].$ Mostre que 
$$
 f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} cos(nx)
 $$ e deduzir que 
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}.
$$

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