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1. Considere $D_N(x) = \sum_{-N}^{N} e^{inx}.$ Mostre que $D_N(x) = \frac{sen(N+\frac{1}{2})x}{sen(x/2)}$. Usando este mostre que 
$$
 s_N(f, x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)D_N(t) dt.
$$
onde $s_N(f, x) = \sum_{-N}^{N} c_n e^{inx}$ é a soma parcial deFourier da função $f.$

2. Mostre que se para algum $x$ existem $\delta, M > 0$ tais que 
$$
 |f(x+t)-f(x)| \leq Mt , |t| < \delta
$$
então $\lim_{N \rightarrow \infty} s_N(f, x) = f(x).$ Em particular se $f$ é diferenciável com derivada contínua no ponto $x$ então a série de Fourier converge ao valor da função neste ponto.

3. Mostre que $\sum \frac{1}{p_i}$ diverge onde $p_i$ são números primos.
Dica: Dado $N$ sejam $p_1, \cdots, p_k$ os números primos que são fator de algum número menor do que $N$.
Então mostre que 
$$
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \leq \product_{j=1}^{k} (1 + \frac{1}{p_j} + \frac{1}{p_j^2} \cdots )$$