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1.  Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}.$ Prove ou dê contraexemple para seguintes afirmações:
  * $f \in \mathcal{R}$ então $|f| \in \mathcal{R}$
  * $|f| \in \mathcal{R}$ então $f \in \mathcal{R}$
  * $f \in \mathcal{R}$ e $|f(x)| \geq c > 0$ então $\frac{1}{f} \in \mathcal{R}$
  * $f \in \mathcal{R}$ então $f \circ f \in \mathcal{R}$
  * $f^2 \in \mathcal{R}$ então $f \in \mathcal{R}$
  * $f \in \mathcal{R}$ então $f^2=f \times f \in \mathcal{R}$

2. Provamos que se $f \in \mathcal{R}$ e $\phi$ contínua, então $\phi \circ f \in \mathcal{R}.$ Mostre que contínua não pode ser substituída por contínua por pedaços, i.e dê exemplo de $f \in \mathcal{R}$ e $\phi$ contínua por pedaços tal que $\phi \circ f$ não seja integrável. 

3. Seja $F \subset [0, 1]$ o conjunto de Cantor "gordo" contruído na aula (i.e retiramos na $n$ésima etapa $2^n$ intervalos de tamanho $\frac{1}{4^n}$). Definimos
$$
 \phi (x) = \int_{0}^{x} dist(t, F) dt,
$$
onde a $dist$ representa mínima distância até $F$. 
  * Mostre que $\phi$ é um homeomorfismo diferenciável entre $[0, 1]$ e $[0, \phi(1)].$
  * Ache os pontos críticos de $\phi$.
  * $\phi(F)$ é um conjunto de cantor de medida nula.
  * Seja $f$ função característica de $\phi(F). $ Então $f$ é integrável, porém $f \circ \phi$ não é integrável.
 <WRAP left round tip 90%>
4. (Sard Unidimensional)
Seja $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável com derivada contínua. $x \in [a, b]$ é um ponto crítico de $f$ se $f^{'}(x)=0.$ Um valor crítico é $y$ tal que exista $x$ crítico e $y=f(x).$ Prove que o conjunto de valores críticos de $f$ tem medida nula.
</WRAP> [[|Solução]]