✎ direcional []

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Vamos iniciar com uma condição necessária para diferenciabilidade de uma função $   f:  S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}. $

**Proposição:** Se $   f $ é diferenciável no ponto $   a $ então $f$ é contínua neste ponto.

Demonstração: Para facilitar a notação suponhamos $   a=(a_1, a_2).$ Pela definição de diferenciabilidade

$   \lim_{(h, k) \rightarrow (0, 0)} \frac{f(a_1 + h, a_2+k ) -f(a_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x} (a) .h - \frac{\partial f}{\partial y} (a). k }{\|(h, k)\|} =0. $

Se multiplicarmos por $   \|(h, k)\| $ o limite acima ainda converge para zero, ou seja

$   \lim_{(h, k) \rightarrow (0, 0)} f(a_1 + h, a_2+k ) -f(a_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x} (a) .h - \frac{\partial f}{\partial y} (a). k = 0. $

Já que $   \ \lim_{(h, k) \rightarrow (0, 0)}  \frac{\partial f}{\partial x} (a) .h + \frac{\partial f}{\partial y} (a). k= 0$, então $   \lim_{(h, k) \rightarrow (0, 0)} f(a_1 + h, a_2+k ) -f(a_1, a_2) = 0.$

O que implica

$   \lim_{(h, k) \rightarrow (0, 0)} f(a_1 + h, a_2 + k) = f(a_1, a_2).$

Como observamos anteriormente, as derivadas parciais de uma função podem existir sem que a função seja diferenciável no ponto.

Dado $   a $ no interior do domínio da função $   f $, quando as derivadas parciais existirem denotamos por <color #ed1c24>gradiente</color> de $   f $, o seguinte vetor:

$   \nabla(f) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \cdots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right) $

**Proposição:** Seja $   a $ no interior do domínio da $   f $ e suponhamos que todas as derivadas parciais existem numa vizinhança de $   a $ e contínua em $   a $. Então $   f $ é diferenciável no ponto $   a. $

<color #ed1c24>Exemplo:</color> Considere $   f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)= x^2 - y^2.$ Então no ponto $   a=(0, 0) $ temos $   \frac{\partial f}{\partial x}= 2x, \frac{\partial f}{\partial x} (a)=0 $ e

$   \frac{\partial f}{\partial y}= -2y, \frac{\partial f}{\partial y} (a)=0  $

e assim temos que ambas as derivadas parciais são funções contínuas no ponto $   a.$ Portanto pela proposição acima, $   f $ é diferenciável no ponto $   a $ e sua derivada é $   [0  0] $. O vetor gradiente no ponto $   (0, 0) $ também é $   (0, 0). $

====Olhar geométrico====

A equação do plano tangente ao gráfico da função é $   z=0.$  Na maioria dos exemplos quando analisamos o plano tangente, a superfície fica de um lado do plano. Porém, a superfície do gráfico desta função é um paraboloide hiperbólico (sela) e o plano tangente corta a superfície.

Compare este exemplo com função dada por $  f(x, y)= \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$, que não existia plano tangente ao gráfico!

Lembremos o exemplo $  f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} $ e verificamos que as derivadas parciais não são contínuas no ponto $  (0, 0). $

Entretanto, uma função pode ser diferenciável sem que as derivadas parciais sejam contínuas.

<color #ed1c24>Exemplo:</color> $  f(x, y) = (x^2 + y^2) sen(\frac{1}{x^2+y^2}), (x, y) \neq (0,0) $ e $  f(0, 0 )= 0.$ Então verificamos que $  f $ é diferenciável em $  (0, 0) $, porém as derivadas parciais não são contínuas em $  (0, 0). $

=====Derivadas direcionais=====

Até agora definimos derivadas parciais $  \frac{\partial f}{\partial x_i}, i=1, \cdots , n$ e também a derivada como uma transformação linear. Já mencionamos que a  derivada de uma função $  f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ em cada ponto onde a função é diferenciável é  uma matriz $  1\times n $ cujas entradas são exatamente as derivada parciais. Isto tem uma justificativa:

Pela definição da derivada no ponto $  a = (a_1, \cdots, a_n) $, se $  [d_1, \cdots, d_n] $ representar a matriz da derivada no ponto $  a: $

$  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a) -  (d_1h_1+ \cdots + d_n h_n) }{\|h\|} = 0. $ Lembrem que $  h= (h_1, \cdots, h_n)$ e a convergência $  h \rightarrow 0 $ está acontecendo em $  \mathbb{R}^n. $

Portanto se substituirmos $  h= (0, \cdots, h_i, \cdots, 0)$ (convergindo apenas na $  i $-ésima coordenada) teremos:

$  \lim_{h_i \rightarrow 0} \frac{f(a_1, \cdots, a_i+h_i, \cdots)-f(a_1, \cdots, a_n) - (d_i h_i) }{\|h\|} = 0. $

Isto implica que

$  d_i = \frac{\partial f}{\partial x_i} (a). $

Como falamos anteriormente, as derivadas parciais são <color #ff7f27>taxas de variação da função nas direções dos eixos das coordenadas</color>. Entretanto, podemos calcular a taxa de variação de uma função em outras direções.

Considere $  v \in \mathbb{R}^n$ um vetor com norma 1 ( $  \|v\|=1. $ Então definimos a derivada na direção $  v $ como:

$  D_v f(a) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(a+tv) - f(a)}{t} $ e lembramos que as derivadas parciais $  \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) $ são calculadas quando $  v = e_i = (0, \cdots, 1, \cdots, 0) $ onde $  1 $ está na posição $  i. $

<color #ed1c24>Exemplo:</color> Calcule a derivada direcional $  D_v f (a) $ onde $  f(x, y) =x^2 + y^2 , v=(-1, 0)$ e $  a=(0, 1). $

Por definição precisamos calcular

$  \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(a+tv)- f(a)}{t} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{(-t)^2 + 1 -1}{t} =0. $

Existe uma forma simples para calcular derivadas direcionais a partir da derivada. De fato, $  D_v f(a) = \nabla f(a) \cdot v$, onde $  \nabla f$ é o vetor gradiente e o produto é o produto interno entre vetores. Para isto basta observar a definição da derivada da função no ponto $  a.$ Se $  \nabla f(a) = (d_1, \cdots, d_n) $ então já que $  \|v\|=1$:

$  \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(a+tv) - f(a) - \nabla f(a) . tv}{ t} =0$ e isto mostra que as derivadas direcionais são exatamente o que foi afirmado anteriormente.

**Um resultado importante  sobre curvas de nível:**

**Teorema:** Seja $  f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável. Então o vetor gradiente no ponto $  a $ do domínio é ortogonal a curva de nível passando pelo ponto $  a. $

Vamos demonstrar depois de falar da regra de cadeia, porém a ideia é a seguinte: Ao longo da curva de nível a função é constante, "Portanto sua derivada direcional com respeito ao vetor tangente a curva de nível tem que ser zero". Isto significa que o produto escalar entre o gradiente e vetor tangente da curva é zero, que por sua vez implica ortogonalidade entre eles.

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