✎ derivarimplicita []

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As vezes temos a dependência de duas variáveis  **implicitamente**. Por exemplo $  y- x^2 - 1=0$ é uma relação que pode ser explicitamente escrita como $  y = x^2+1$ e assim $  y $ é uma função de $  x $, $y(x)$.

Porém poderá haver relações implícitas bem mais complexas e as vezes não podemos descrever nenhuma das variáveis como função de outras variáveis. Suponhamos que temos uma relação entre $  x, y $ dada por:

$  F(x, y) =0 $

Suponhamos que $  y $ é uma função diferenciável de $  x $ pelo menos em torno de um ponto específico $  x_0. $ O objetivo é calcular

$  \dfrac{dy}{dx} (x_0). $ Isto é, se $  y=f(x) $ então queremos calcular $  f^{'}(x_0). $

Observe que $  G(x):= F(x, f(x))=0 $ e já que <color #ed1c24>a derivada de uma função constante é zero</color>, $  \frac{dG}{dx}(x_0) =0 $ e pela regra de cadeia, que vimos anteriormente:

$  \dfrac{dG}{dx} = \dfrac{\partial F}{\partial x} \dfrac{dx }{dx} + \dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx}  =0$

e assim, se em algum ponto $  (x_0, y_0) $ tivermos $  \dfrac{\partial F}{\partial y} (x_0, y_0) \neq 0  $ concluímos que:

$  \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F}{\partial x} }{\dfrac{\partial F}{\partial y}}$

<color #22b14c>E para mais variáveis?</color>

Uma fórmula parecida vale: suponhamos que $  F(x_1, x_2, \cdots, x_n, y) =0. $ Se $  y $ for uma função de $  x_1, \cdots, x_n $, ou seja $  y=f(x_1, \cdots, x_n) $ então $  F(x_1, \cdots, x_n, f(x_1, \cdots, x_n)) =0 $ e novamente usando regra de cadeia:

$  \dfrac{\partial F}{\partial x_j}=  \sum_{i=1}^{n} \dfrac{\partial F}{\partial x_i} \dfrac{dx_i }{dx_j} + \dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx_j} = 0. $

Já que $  \dfrac{dx_i}{dx_j} =0, i \neq j$,  $  \dfrac{\partial F}{\partial x_j} + \dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx_j} =0 $ e portanto, se $  \dfrac{\partial F}{\partial y} \neq 0 $, temos:

$  \dfrac{\partial y}{\partial x_j} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F}{\partial x_j} }{\dfrac{\partial F}{\partial y}}. $

**Exemplo:** Suponhamos $  x^2+y^2 =1$ então calcule a derivada de $  y $ como uma função de $  x $ no ponto $  \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). $ Observe que $  x=\dfrac{\sqrt{2}}{2},  y$ pode ter dois valores (tente enxergar porque isolando y na equação).

<color #22b14c>Pela derivação implícita:</color>

$  \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F}{\partial x}   }{\dfrac{\partial F}{\partial y}}$ e $  \dfrac{\partial F}{\partial x} = 2x, \dfrac{\partial F}{\partial y} =2y$ e portanto

$  \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{2 \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{ - 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2}} =1. $

Podemos ver que se fosse para calcular a derivada no ponto $  \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, a resposta seria $  -1.$ Por efeito, a função que descreve dependência de $  y$ em termos de $  x$ depende do ponto. Geometricamente falando, a relação implícita é a equação de um círculo que não pode ser visto como gráfico de uma única função $  y=f(x)$ e por isto precisamos determinar em torno de qual ponto queremos descrever $  y$ como uma função de $  x$.

De fato nem sempre é possível descrever $  y$ como uma função de $  x$ e no exemplo anterior os pontos $  (1, 0), (-1, 0)$ mostram isto.

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