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Agora vamos compreender a noção de derivada para funções de várias variáveis. Para começar considere caso das funções (curvas) com domínio de dimensão um e contra-domínio $  \mathbb{R}^n. $ Seja $  f : I \rightarrow \mathbb{R}^n, a \in I $, então já discutimos a diferenciabilidade de $  f $ em $  a $. De fato se $  f= (f_1, \cdots, f_n) $ então $  f^{'}(a)= (f_1^{'}(a), \cdots , f^{'}_n(a)). $ Físicamente, este "vetor" da derivada é o vetor da velocidade.

Agora considere uma função real $  f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ e $  a \in \mathbb{R}^n \in S. $

Qual será  a definição da diferenciabilidade no ponto $  a $ ?

Lembramos que a derivada era a taxa de variação da função com respeito da variação de sua variável. Agora a função tem variável com $  n $ coordenadas. Podemos pensar em variar cada coordenada e calcular a taxa de variação com respeito a cada coordenada. Fixamos $  1 \leq i \leq n $ e definimos a derivada parcial com respeito de i'ésima coordenada de $  f $ no ponto $  a=(a_1, \cdots, a_n) $

$  \frac{\partial f}{\partial x_i} (a) := \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{f(a_1, a_2, \cdots, a_i+h, \cdots, a_n)}{h} $

quando o limite acima existir.

Exemplo: Considere a função $  f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y) = |xy|$ então verifique a diferenciabilidade parcial com respeito das variáveis no ponto $  (0, 0). $

vamos verificar se $  \frac{\partial f}{ \partial x} (0, 0) $ existe.

$  \lim_{h \rightarrow 0 } \frac{f(0+h, 0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0 } \frac{|h \times 0|}{h} = 0 $

e de uma forma similar concluímos que $  \frac{\partial f}{ \partial y} (0, 0) = 0.  $

Cuidado: Observe que função $  x \rightarrow |x|$ não é diferenciável no ponto $  x=0. $

Exemplo: Calcule $  \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) $ se $  f(x, y)= cos(xy) + e^y. $

Observe que para calcular derivada parcial com respeito a variável $  x $ podemos considerar $  y $ como um número constante. Portanto

$  \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = -ysen(xy). $ Agora substituindo $  (x, y)= (0, 0) $ obtemos que $  \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0)=0.$

E as aproximações lineares?

Lembramos que no curso de cálculo de uma variável, definimos derivada da função e relacionamos com aproximação linear: Seja $  f : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ diferenciável num ponto $  a $ no interior de $  I $ com derivada $  f^{'}(a) $ então definimos $  L(x)= f^{'}(a)x $ e observem que $  L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é uma transformação linear, representada de forma matricial simples $  [f^{'}(a)] $ (matriz $  1\times1 $.) A definição da derivada é de tal forma que $  f(a+h)=f(a) + L(h) + E(h)$ onde $  E $ é função de erro de estimativa linear e

$  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{E(h)}{h} =0. $

Outra forma de escrever é:

$  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)- L(x-a)}{x-a} =0. $

ou geometricamente falando: A função $  f $ e função afim (é um pouco injusto (matemáticamente) falar de aproximação linear. seria melhor falar aproximação afim) $  g$, $  g(x)=f(a)+ L(x-a) $ são tangentes no ponto $  a. $

Este ponto de vista nós permite generalizar a definição de derivada e aproximações para dimensões mais altas.

Definição: Uma função $  f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ é diferenciável em $  a $ no interior de $  S $ se existir uma função linear $  L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ tal que

$  \lim_{x \rightarrow a} \frac{\|f(x)-f(a)- L(x-a)\|}{\|x-a\|} =0. $

Advinha quem será essa transformação linear quando a função é diferenciável (o limite acima é zero!)

"Claro", quem poderia ser?! é a transformação linear $   T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ cuja representação matricial é $   [ \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \cdots,  \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)  ]$.

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Vamos explicar isto um pouco melhor...**

Ou seja não tem como escapar das derivadas do cálculo 1. Precisamos calcular n derivadas e listar numa linha e essa será  a derivada da função $   f.$

Exemplo: Considere $   f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)= x^2 -y^2.$ Assumimos que $   f$ é diferenciável no ponto $   (2,1)$ e vamos achar equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $   (2, 1, 3). $

Precisamos calcular a matriz derivada da função no ponto $   (2,1) $ que denotamos por $   L $.

$   [L] =  [\frac{\partial f}{\partial x}(2, 1), \frac{\partial f}{\partial y}(2, 1)] = [4, -2]. $

De fato $   \frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ e $   \frac{\partial f}{\partial y}=-2y.$

Então a aproximação linear é dada por $   f(2, 1)+ L(x-2, y-1) = 3 + 4(x-2) -2(y-1).$

a equação do plano tangente é dada por $   z= 3 + 4(x-2) -2(y-1). $

O exemplo abaixo mostra que apenas verificar a existência das derivadas parciais não é suficiente para diferenciabilidade da função num ponto. Isto é de esperar, pois temos infinitas direções pelas quais podemos aproximar um ponto e as derivadas parciais apenas consideram um número finito de direções ($   n$ direções para calcular derivada de uma função $   \mathbb{R}^n$ em $   \mathbb{R}$.)

Exemplo: Considere $   f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)= \frac{x^2y}{x^2+y^2}, (x, y) \neq (0, 0) $ e definimos $   f(0, 0)=0. $ Então

$   \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h}=0. $

De uma forma similar podemos ver que $   \frac{\partial f}{\partial x} (0, 0)=0.$ Portanto as derivadas parciais existem. Agora vamos verificar diferenciabilidade da $   f $ no ponto $   (0, 0). $

Observe que se $   f $ for diferenciável no ponto $   (0, 0) $ então sua derivada deve ser transformação linear nula $   L= [0, 0]. $ Porém,

$   \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{|f(x, y) - f(0, 0) - L(x, y)|}{\|(x, y)\|} = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2) \sqrt{x^2+y^2}}  $ não existe (considere direções diferentes para aproximar ao orígem) . Se a função fosse diferenciável, este limite deveria ser zero.

Uma interpretação geométrica: Considere coordenadas polares $   (r, \theta) $ e a regra função será dada por $   f(r, \theta) = r cos^2 (\theta) sen(\theta). $ Observe que fixando $   \theta $ obteremos $   z=r cos^2(\theta) sen(\theta) $ que mostra que a semi-reta está totalmente dentro do gráfico da função. Considerando $   \theta+ \pi $ obteremos reta inteira no gráfico. Assim concluímos que a superfície gráfico da $   f $ é formada por retas. entre essas retas temos dois eixos $   x, y. $ Bastaria colocar $   \theta=0, \frac{\pi}{2} $ e obtemos $   z=0. $ Portanto os dois eixos estão dentro do gráfico e se o plano tangente existir deve coincidir com plano $   xy. $ Porém para retas exceto eixos $   x, y $ temos $   cos^2(\theta) sen(\theta) \neq 0 $  e a reta $   z=rcos^2(\theta) sen(\theta)  $ não é tangente a superfície.

A superfície do gráfico da função no ponto $   (0, 0, 0)$ não tem plano tangente. Quando a função é diferenciável, temos um plano tangente.

Ainda Derivada:

Em geral se $  f: S \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ e $  a \in S$ um ponto do interior então a derivada (se existir) é uma transformação linear $  Df(a): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ e pode ser representada por uma matriz $  m \times n.$

De fato $  f(x_1, \cdots, x_n) = (f_1(x_1, \cdots, x_n), \cdots, f_m(x_1, \cdots, x_n)).$ Assim a derivada

$  Df(a)= [L]_{ij}, \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (a) = L_{ij}.$

Por exemplo  considere $  f(x, y)= (x^2+y^2, xy)$ então:

$  Df(a_1, a_2) = \begin{bmatrix} 2a_1 & 2a_2 \\ a_2& a_1 \end{bmatrix}$.

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