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====== Sobre sinal da derivada ======

Suponhamos que   $ f   $ seja diferenciável no ponto   $ a  $ e portanto teremos três possibilidades:

- $ f^{'}(a) > 0  $
    - $ f^{'}(a) < 0  $
    - $ f^{'}(a)=0.  $

Vamos mostrar que se ocorrer (1) então existe número   $ \delta> 0  $ tal que se   $ a < x < a+ \delta  $ então   $ f(x)> f(a)  $  e se   $ a-\delta < x < a  $ então   $ f(x)< f(a).  $

Demonstração: Já que   $ f^{'}(a) > 0  $ então existe   $ \epsilon > 0, f^{'}(a) > \epsilon.  $ Pela definição da derivada existe   $ \delta > 0  $ tal que para todo   $ 0 < |x-a| < \delta  $ temos   $ -\epsilon/2 < \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - f^{'}(a) < \epsilon/2  $ portanto
$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > \epsilon/2 > 0 $.

Da desigualdade acima concluímos que o sinal de   $ f(x)-f(a)   $ coincide com o sinal de   $ x-a  $ no conjunto   $ 0 < |x-a| < \delta.  $ Assim demonstramos o que afirmamos.

De uma forma similar podemos mostrar que no caso (2) teremos   $ \delta > 0   $

tal que se   $ a < x < a+ \delta  $ então   $ f(x) < f(a)  $  e se   $ a-\delta < x < a  $ então   $ f(x) > f(a).  $

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Corolário fantástico
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Corolário: Um ponto   $ a  $ é chamado ponto máximo local (resp. mínimo local) da função   $ f  $ se existir   $ \delta >0  $ tal que para todo   $ x \in [a - \delta, a+\delta]  $ temos   $ f(x) \leq f(a).  $ (resp.   $ f(x) \geq f(a).  $)

O corolário da discussão sobre sinal da derivada é que se um ponto   $ a  $ for máximo ou mínimo local de uma função diferenciável nest eponto então   $ f^{'}(a)=0.  $

Exemplos
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Considere a função    $ f(x)=x^4-x^3.  $ Essa função é diferenciável em todo   $ \mathbb{R}  $. Vamos analisar o sinal da derivada:

$f^{'}(x)= 4x^3 - 3x^2 = x^2(4x-3).$

Portano para todo   $ x < \frac{3}{4}  $ temos   $ f^{'}(x) < 0  $ e para   $ x > \frac{3}{4}, f^{'}(x) > 0  $ e em dois pontos   $ x=0, \frac{3}{4}  $ a derivada se anula.

Vamos analisar o ponto   $ x=0.  $ Nest eponto a derivada é zero. Entretanto,   $ f(x) > 0  $ para   $ x < 0  $ e   $ f(x) < 0  $ para   $ 0 < x < 1  $ que mostra que   $ x=0  $ não nem máximo nem mínimo local!

Observe que anteriormente provamos que se   $ x=a  $ for um máximo ou mínimo local e a função for diferenciável no ponto   $ a  $ então   $ f^{'}(a)=0  $ e o exemplo mostra que a recíproca não é verdade.

Agora analisarmos a função no intervalo   $ [0,1].  $ Sabemos que   $ f  $ é contínua e portanto pelo teorema de Weierestrass admite pelo menos um ponto mínimo. Dado que neste intervalo   $ f(x)\leq 0  $ e apenas nos pontos   $ x=0, 1  $ a função se anula, concluímos que o mínimo ocorre num ponto no interior do intervalo   $ [0,1].  $ Já que   $ x=\frac{3}{4}  $ é o único ponto neste intervalo onde   $ f^{'}(x)=0  $ então é o ponto mínimo local da função.

Pode já imaginar como deve ser o gráfico da função? Veja a seguir o gráfico:

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Exemplo:  Considere a função   $ f(x)= x - sen(x)  $. Verificamos que   $ f^{'}(a)=0  $ para qualquer número   $ a=2k\pi, k \in \mathbb{Z}  $, porém nestes pontos a função não tem máximo, nem mínimo local.

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Michel Rolle matemático francês 1652-1719. A notação   $ \sqrt[n]{...}  $ é atribuída a ele também.
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===== Teorema de Rolle =====
Teorema: Seja   $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}  $ contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e   $ (a, b).   $ Suponhamos que   $ f(a)=f(b)=0.  $ Então existe   $ c \in (a,b)  $ tal que   $ f^{'}(c)=0.  $

Demonstração: Se para todo   $ x \in [a,b]  $ termos   $ f(x)=0  $ logo concluímos que a função é constante e portanto sua derivada em todos os pontos do interior é zero.

Se isto não ocorrer, vai existir algum   $ x_0 \in (a,b), f(x) \neq 0  $. Vamos assumir que   $ f(x_0)>0.  $ Agora pelo teorema de Weierestrass a função contínua tem algum ponto (digamos o ponto   $ c  $) máximo no intervalo fechado   $ [a,b].  $ Já que   $ f(x_0) >0  $ então   $ f(c) > 0  $ também e portanto este ponto máximo não pode ser nenhum dos pontos   $ a, b.  $ Agora, pelo <color #ed1c24>corolário fantástico</color> (veja acima)  concluímos que   $ f^{'}(c)=0.  $

Uma ligeira generalização deste resultado é o teorema de Valor médio:

==== Teorema de Valor médio ====
Teorema: Seja   $ f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}  $ contínua e diferenciável em todos os pontos do interior, i.e   $ (a, b).   $  Então existe   $ c \in (a,b)  $ tal que   $ f^{'}(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.  $

Em termos físicos, num intervalo de tempo   $ [a,b]  $ existe um momento que a velocidade instantânea coincide com a velocidade média (estamos assumindo as mesmas hipoteses do teorema também).

Este resultado pode ser usado para estimar crescimento de uma função:

Suponhamos que $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua e diferenciável em todos os pontos do interior do intervalo. Se existir $M \geq 0$ tal que para todo $x \in (a, b), |f^{'}(x)| \leq M$ então
$$
 |f(b) - f(a)| \leq M |b-a|.
$$
Ou em utras palavras $\Delta y \leq M \Delta x$.

Exemplo: Para todo $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ mostre que $|sen(\alpha) - sen(\beta)| \leq |\alpha - \beta|.$

Basta considerar $f(x)=sen(x)$ e lembrar que $f^{'}(x)=cos(x)$ e que $|f^{'}(x)| \leq 1$ e aplicar resultado acima.

Exemplo: Para quaisquer $a, b > 0$ mostre que 
$$
 |\frac{1}{1+a} - \frac{1}{1+b}| \leq |a-b|.
$$

Basta considerar $f(x) = \frac{1}{1+x}$ no intervalo $(-1, \infty).$ Observe que $f^{'}(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ e para $x > 0$ podemos ver que $|f^{'}(x)| < 1.$

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