✎ calculo1:leibniz []

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Leibniz introduziu uma notação para representar a derivada de uma função que tem dupla aplicação: Primeiramente é uma fração que lembra a noção de limite na definição de derivada e por outro lado aparece com frequência como um facilitador nas contas que utilizam regra de cadeia.

Seja  $ f: S \rightarrow \mathbb{R}   $ uma função e vamos escrever  $ y =f(x).   $ Isto significa que  $ x   $ é uma variável em  $ S   $ enquanto  $ y   $ é variável (que depende do  $ x   $) dentro da imagem da função  $ f.   $

Pois bem, se  $ a   $ for um ponto no interior de  $ S   $ lembramos a definição da derivada (se existir) no ponto  $ a   $.

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}  $

Se denotarmos por  $ \Delta y, \Delta x   $ respectivamente o numerador e denominador a fração que define a derivada, a derivada no ponto  $ a   $ é igual

$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.   $

A notação introduzida pelo Leibniz para derivada é:

$ \frac{dy}{dx}(a), \frac{dy}{dx}|_{x=a}$ ou $  \frac{dy(f(a))}{dx(a)}   $

Podemos ler: a derivada da  $ y   $ com respeito da variável  $ x   $ no ponto  $ x=a.   $

Podemos "fingir" que  $ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.   $

Sendo assim nasceram duas "criaturas"  $ dx, dy   $ que apenas fazem sentido como ferramentas baseadas no rigor do "jogo do" cálculo.

{{ :dx-1.jpeg?100 |}} {{ :dy-1.jpeg?100 |}}

Vamos dar um exemplo sério onde podemos usar essas notações:

Se olharmos a regra de cadeia com olhar das notações de Leibniz: Seja  $ y=f(x), b=f(a)   $ e  $ z=g(y)   $, então  $ z=(g\circ f)(x)   $ e portanto a regra de cadeia pode ser escrita:

(1)      $ \frac{dz(g(b))}{dx(a)} = \frac{dz(g(b))}{dy(b)}. \frac{dy(b)}{dx(a)}     $

ou

(2)    $ \frac{dz}{dx}(a) = \frac{dz}{dy}(f(a)). \frac{dy}{dx} (a)   $

e se quisermos relaxar ainda mais vamos escrever:

(3)     $ \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}.   $

A igualdade acima faz todo o sentido, apesar de que cada termo tipo  $ dz, dy, dx   $ "não faz sentido individualmente".

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Atenção
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A igualdade acima tem que ser compreendida bem. pois o uso "bobo" dela pode criar problemas. Precisamos lembrar que cada derivada é calculada em qual ponto e para isto precisamos entender bem o enunciado da regra de cadeia.

Será que com estes jeitos de escrever, olhando para equação (1) e cancelando  $ dy(b)   $ de um numerador e denominador não demonstraríamos a regra de cadeia???

Não, a rigor!  Por exemplo, como podemos cancelar um termo se não sabermos se é zero ou não.

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Derivadas de órdem superior:

Se a derivada de uma função  $ f    $ for diferenciável a segunda derivada  $ f^{''}   $ é denotada por derivada da derivada da  $ f   $. Se  $ f^{''}   $ for diferenciável a terceira derivada também faz sentido,....

Denotamos por  $ f^{(n)}(a)    $ a derivada de órdem  $ n   $ da função  $ f   $ no ponto  $ a.   $ Em notações de Leibniz escrevemos  $ \frac{d^n f}{dx^n}(a).    $

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Exercício
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Considere  $ f(x)=\frac{1}{x}   $. Calcule a  $ n   $ésima derivada da  $ f.   $

====== Derivada de função inversa: ======

Um corolário da regra de cadeia é calcular a derivada da inversa de uma função diferenciável.

Teorema: Suponhamos  $ f: I \rightarrow \mathbb{R}   $ diferenciável  em todos os pontos do interior do intervalo  $ I   $ e sua derivada em todos os pontos tem o mesmo sinal (e nunca zero). Então  $ f^{-1}   $ é diferenciável em todos os pontos interior de seu domínio e para todo tal ponto,  $ b= f(a)   $ temos

$ (f^{-1})^{'}(b) = \frac{1}{f^{'}(a)}.   $

DEmonstração: Se assumirmos a diferenciabilidade da  $ f^{-1}   $ usando regra de cadeia podemos obter a fórmula da derivada da  $ f^{-1}   $:

Basta derivar dos dois lados da seguinte equação:

$ (f^{-1} \circ f)(x)=x   $.

Usando regra de cadeia temos:   $ (f^{-1})^{'}(f(a)) f^{'}(a) = 1   $ e portanto  $ (f^{-1})^{'}(b) = \frac{1}{f^{'}(a)}.   $

Agora discutimos a diferenciabilidade da  $ f^{-1}.   $ Já que a derivada da  $ f   $ tem sinal positivo (ou negativo) em todos os pontos, concluímos que  $ f   $ é estritamente crescente (ou estritamente decrescente). Já que  $ f   $ é contínua, a imagem dos pontos do interior de  $ I   $ pertence ao interior do domínio da  $ f^{-1}   $ e vice-versa. Se  $ a \in I   $ é um ponto no interior de  $ I   $ então para  $ b=f(a)   $ se  $ |k|   $ for suficientemente pequeno,  $ b+k   $ também é um ponto no interior do domínio da  $ f^{-1}.   $ Portanto existe  $ h   $ tal que  $ b+k = f(a+h)   $ e portanto:

$ \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(b+k) - f^{-1}(b)}{k} = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(f(a+h)) - f^{-1}(f(a))}{f(a+h)-f(a)}   $

$ = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{h}{f(a+h)-f(a)}   $

Já que  $ f^{-1}   $ é contínua,   $ k \rightarrow 0   $ implica que  $ h \rightarrow 0   $ e portanto o limite acima é igual ao seguinte:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(a+h)-f(a)} = \frac{1}{f^{'}(a)}.     $

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Exemplos
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A função  $ sen: [-\pi/2, \pi/2] \rightarrow \mathbb{R}   $ é injetiva e diferenciável e sua derivada  $ cos   $ é positiva no interior do domínio. Então usando regra de cadeia temos:

$ sen^{'}(Arcsen(x)) Arcsen^{'}(x) = 1   $  e portanto

$ cos(Arcsen(x)). Arcsen^{'}(x) = 1.   $

Entretanto se  $ x \in (-1,1)   $ então

$ cos(Arcsen(x)) = \sqrt{1-x^2}   $ e portanto temos:

$ Arcsen^{'}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.   $

Observe também que  $ Arcsen(x)+Arccos(x) = \pi/2   $ e derivando dos dois lados desta equacão temos:

$ Arccos^{'}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.   $

Como exercício mostrem que:  $ Arctg^{'}(x) = \frac{1}{1+x^2}, Arcotg^{'}(x) = -\frac{1}{1+x^2}.   $

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Exemplo de cálculo de taxa de variação
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Vamos encher um reservatório cônico (vértice para baixo) de altura 20 cm e raio da base circular 10cm. Suponhamos que água entra no reservatório com velocidade 2 cm3/s. queremos calcular a taxa de acrescimo da altura da água no reservatório no momento em que altura da água é 6cm.

Considere variáveis $t$:tempo, altura da água $:=h$ e volume $V(t)$ no tempo $t$. Pela hipótese $\frac{dV}{dt} = 2.$ Queremos achar $\frac{dh}{dt}$ quando $h=6.$ Usando Tales, podemos concluir que $\frac{r}{h} = \frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ onde $h$ é altura da água no instante $t$ e $r$ o raio da base do cone formada por água no instante $t$. Então
$$
 V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{12}h^3.
$$
Agora pela regra de cadeia
$$
 \frac{dV}{dt}= \frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt}$$
e pela fórmula do volume $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{4}h^2$ e portanto
$$
 2 = \frac{\pi}{4}h^2 (\frac{dh}{dt})
$$
substituindo $h=6$ temos $\frac{dh}{dt} = \frac{9}{2 \pi}.$

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