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Vamos demonstrar uma versão um pouco mais geral do Teorema de Valor médio e usando essa versão provaremos um "sonho de consumo" de todos os alunos de cálculo, que é a regra de L'hopital para calcular limites.

====== Teorema Valor médio generalizado ======
Teorema: 
Sejam  $  f, g: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}   $ diferenciáveis e contínua no intervalo  $  [a, b].   $ Se  $  g^{'}(x) \neq 0   $  para  $  x \in (a, b)   $, então existe um ponto  $  c \in (a,b)   $ tal que

 $  \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.   $

Uma demonstração "fake": (apenas para saber como não fazer as coisas!)

Pela teorema de valor intermediário existe  $  c   $ tal que  $  f^{'}(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}   $. Vamos aplicar novamente o teorema de valor médio, agora para funçao  $  g   $ e portanto  $  g^{'}(c) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a}   $

Agora dividimos duas relações obtidas e temos

 $  \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.   $

<WRAP center round important 60%>
Ok, sem perder paciência escreva onde está o erro grotesco.

</WRAP>



Demonstração (de verdade!): Definimos uma nova função

 $  H(x) = f(x)(g(b)-g(a)) - g(x)(f(b)-f(a)).   $

Observe que a função  $  H   $ é diferenciável no intervalo aberto  $  (a, b)   $ e contínua no intervalo fechado  $  [a,b]   $ pois as funções  $  f, g   $ tinham essas propriedades.

Apenas substituindo valores, concluímos que  $  H(a)=H(b)= f(a)g(b)-f(b)g(a)   $ e portanto pelo Teorema do valor médio temos que existe  $  c \in (a, b)   $ tal que  $  H^{'}(c)=0.   $

É fácil ver (usando propriedade básica de derivada) que

 $  H^{'}(x)= f^{'}(x)(g(b)-g(a)) - g^{'}(x)(f(b)-f(a)).   $

Portanto  $  H^{'}(c)= f^{'}(c)(g(b)-g(a)) - g^{'}(c) (f(b)-f(a)) =0   $ e rearranjando os termos desta equação obteremos que:

 $  \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.   $




===== Regra de L'Hopital =====

(link Wikepedia) Atualmente sabe-se que a regra não se deve ao [[https://pt.wikipedia.org/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_Marqu%C3%AAs_de_l%27H%C3%B4pital|Guillaume François Antoine]] , Marquês de l'Hôpital, mas sim a [[https://pt.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli|Johann Bernoulli]], um dos membros da célebre [[https://pt.wikipedia.org/wiki/Fam%C3%ADlia_Bernoulli|Família Bernoulli]]. A regra integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo, mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Posteriormente descobriu-se tal fato.

Bom, vamos ao que nós interessa mais!

<WRAP  round tip >
Teorema (caso  $  \frac{0}{0}   $): Suponhamos que  $  \lim_{x\rightarrow a}f(x)=0, \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0   $ e que  $  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L   $, onde  $  L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}   $, então:

 $  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L     $
</WRAP>


Observação: Neste teorema estamos assumindo  $  a \in \mathbb{R}   $. Porém  o limite  $  L   $ pode ser infinito também. A demonstração aqui é para  $  L \in \mathbb{R}   $ e o caso infinito realmente é um pequeno exercício.

Outro exercício: O Teorema é válido com as mesmas hipóteses quando  $  a = \infty   $ também e para demonstrar basta fazer uma mudança de variável e definir novas funções  $  F(x) = f(\frac{1}{x}), G(x)= g(\frac{1}{x}).   $

Demonstração:

Já que  $  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}   $ existe, concluímos que num intervalo (talvez furado no centro) em torno de  $  a   $ as derivadas existem e  $  g^{'}(x) \neq 0.   $ Vamos denotar por  $  I   $ este intervalo. Definimos duas novas funções (muito parecidas com  $  f, g   $): Sejam  $  F, G   $ tais que  $  F(a)=G(a)=0   $ e  $  f(x)=F(x), g(x)=G(x)    $ para todos os outros pontos do domínio das funções  $  f, g.   $

Dado qualquer  $  x \in I   $  podemos aplicar o teorema do valor médio generalizado para  $  F, G    $ no intervalos com pontos extremos  $  a, x.    $ e portanto

 $  \frac{F^{'}(c)}{G^{'}(c)} = \frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)} = \frac{f(x)}{g(x)}.    $

Mas pela definição das funções  $  F^{'}(c)=f^{'}(c), G^{'}(c)=g^{'}(c)    $

e portanto

 $  \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} = \frac{f(x)}{g(x)}.    $   (*)

Observe que  $  c    $ na equação acima depende do ponto  $  x    $, porém quando  $  x    $ tende ao ponto  $  a    $, então os pontos  $  c    $ correspondentes também convergem ao ponto  $  a    $ por estarem entre  $  a, x.    $

Já que  $  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L    $ então a medida que  $  c   $ aproximar ao ponto  $  a   $ o valor de  $  \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)}   $ aproxima a  $  L   $ (no caso limite infinito, aproximar tem que ser compreendido de forma correta!). Portanto  pela equação (*) e observação logo depois desta equação temos

 $  \lim_{x \rightarrow} \frac{f(x)}{g(x)}=L.     $

*********************

<WRAP  round tip >
Teorema (Caso  $  \frac{\infty}{\infty}   $)

Sejam  $  f, g   $ diferenciável numa vizinhança furada $N$ de  $  a   $ e suponhamos que:
$  \lim_{x \rightarrow a} g(x)= \infty, \lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty,$
para todo  $  x \in N, g^{'}(x)\neq 0   $ e  $  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}= L   $ onde  $  L \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}.$ 
Então:  $  lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=L.   $

</WRAP>

Observação: Como no caso do teorema anterior o teorema é válido mesmo quando o limite  $  L   $ é infinito e/ou  $  a = \infty.   $




Demonstração (vamos fazer já que existe muitos demonstrações erradas na internet):

Sejam  $  p, q   $ tais que  $  p <  L < q   $ e  escolha  $  L < r < q   $.  Já que  $  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = L   $ então para existe uma vizinhança  de  $  a   $ tal que nesta vizinhança  $  \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r   $. Agora para quaisquer dois números  $  x, y   $ nessa vizinhança pelo Teorema do Valor médio generalizado temos

 $  \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{f^{'}(c)}{g^{'}(c)} < r   $ (1)

Pela hipotese sabemos que  $  \lim_{x \rightarrow a} g(x)=\infty   $. Fixamos a partir de agora o ponto  $  y    $ e portanto para  $  x    $ muito próximo de  $  a    $ temos pelo menos  $  g(x) > g(y)    $ e consequentemente  $  g(x)-g(y) > 0.    $

Entõa podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade (1) no fator  $  g(x) -g(y)    $ e dividimos por  $  g(x)    $ obteremos

 $  \frac{f(x)}{g(x)} < r - r \frac{g(y)}{g(x)} + \frac{f(y)}{g(x)}.     $

Bem, a desigualdade acima tem uma mensagem muito positiva! Novamente, a medida que  $  x \rightarrow a    $ as frações  $  \frac{g(y)}{g(x)}, \frac{f(y)}{g(x)}     $ tendem ao zero (observe que não estamos mexendo com  $  y   $) e portanto para TODOS os  $  x   $ muito próximo ao ponto  $  a   $ temos

 $  \frac{f(x)}{g(x)} < q.   $ (lembram do número  $  q?   $ ele é maior do que número  $  r.   $)

De uma forma similar podemos escolher uma vizinhança muito pequena de  $  a   $ tal que pontos  $  x   $ nesta vizinhança satisfazem  $  \frac{f(x)}{g(x)} > p.   $

Já que  $  p, q   $ eram escolhidos inicialmente arbitrários limitando número  $  L   $ então pela definição de limite:

 $  \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.   $







Exemplos Alegres :-D e  Exemplo para Alertar FIXME:

      

Exemplo1.:-D Calcule  $  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-sen(x)}{x^3}   $.

A determinação é do tipo  $  \frac{0}{0}   $ e vamos calcular as derivadas. 

 $  \frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{1-cos(x)}{3x^2}    $ e observe que a indeterminação permanece. Vamos insistir e derivar novamente:  $  \frac{f^{''}(x)}{g^{''}(x)}= \frac{sen(x)}{6x}   $ e ainda permaneceu! Derivamos de novo e o limite existe e é igual a  $  \frac{1}{6}.   $  Legal né?

Exemplo 2.:-D Calcule  $  \lim_{x \rightarrow 0^{+} } x \ln(x)   $

Observe que podemos escrever  $  x \ln(x) = \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}   $ e lidamos com indeterminação do tipo  $  \frac{\infty}{\infty}   $ e observem que as hipótese do teorema neste caso é satisfeita. Portanto

 $  \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=0.   $

(lembrem de nosso mote que logaritmo é mais fraco que polinomial que por sua vez é mais fraco que exponencial!)

Exemplo 3.FIXME  Calcule  $  \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}   $

Observe que a indeterminação deste limite é do tipo  $  \frac{\infty}{\infty}   $.

 $  \frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{e^x+ e^{-x}}{e^x - e^{-x}}    $

e assim a indeterminação permanece. O problema é que se derivarmos mais vezes nunca a indeterminação vai sumir!

Mas que tal massagear a função um pouco antes de calcular o limite!

 $  \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} -1}{e^{2x} + 1}   $

e agora podemos até aplicar uma vez L'hopital e o limite é igual a 1.




Exemplo 4.FIXME Calcule  $  \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+cos(x)}{x}   $

Observe que a indeterminação é do tipo  $  \frac{\infty}{\infty}   $. Se utilizarmos o L'hopital sem cuidado escreveremos  $  \frac{f^{'}}{g^{'}} = \frac{1-sen(x)}{1}   $ que não tem limite quando  $  x \rightarrow \infty.   $ Essa última função oscila e não tem limite.

Porém  $  \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+cos(x)}{x} =  \lim_{x \rightarrow \infty} 1+ \frac{cos(x)}{x} = 0.   $

Aha, a regra L'hopital aqui não funcionou, pois o limite da proporção das derivadas Não EXISTE! Ou seja a recíproca do enunciado do L'hopital não vale.