✎ calculo1:fermat []

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<color #ed1c24>(texto abaixo foi retirado do livro infinite powers, Strogatz)
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A versão do cálculo diferencial do Fermat  é um excelente casamento entre álgebra e análise. Um dos problemas que ele considerou foi um simples adaptação de (hoje em dia) um exercício de otimização:

Imagine que você quer fabricar uma caixa com base  quadrada  $  x$ por  $  x $ e altura adequada para comprir regra de uma empresa aérea: A soma das medidas (altura, comprimento e largura) das caixas não podem ultrapassar 45 inchs. Quais serão as medidas da caixa para ter máximo de volume?

a intuição pode sugerir que um cubo é a melhor solução. De fato é! Porém vamos ver como o Fermat abordou este tipo de problema.

Primeiramente vamos utilizar símbolos algébricos (Primeiro texto usando álgebra para resolver problemas é pelo matemático Persa Al-Kharismi  cujo nome dá orígem a palavra algoritmo também): Denotando por  $  x $ o comprimento e largura e por $  45-2x   $ a alrtua, já que queremos volume máximo. Multiplicando as dimensões para obter volume, temos:

$  V(x)= x^2 (45 -2x)= 45x^2 - 2x^3$

Qual é o valor do  $  x $ para que o volume, i,.e,  $  V(x) $ seja máximo?

Vamos esboçar o gráfico (usando geogebra)  da função  $  x \rightarrow V(x) $ para ter alguma ideia. ah, fiz uma contração na coordenada y para visualizar melhor. o gráfico abaixo é da função  $  x \rightarrow (45x^2-2x^3)/100  $ que tem o mesmo valor x onde tem seu máximo.

{{ :fermat.png?300 |}}
"Dá para ver" que  $  x = 15   $ é o ponto onde a função alcança seu valor máximo no problema desejado.  Ok, um(a) cientista não trabalho apenas com olhos. precisamos argumentar mais rigorosamente. Veja o que o Fermat fez, já que não tinha geogebra e outras tecnologias (inclusive a derivada, vejamos nas próximas páginas a noção de derivada):

Ele considerou a parte do gráfico da função entre  $  x=0   $ e  $  x=22,5   $ e observou que as retas horizontais abaixo de nível do máximo intersectam o gráfico em dois pontos enquanto retas acima deste nível não o cruzam. No valor máximo a reta horizontal "deve" intersectar o gráfico apenas em um ponto!

{{ :fermat1.png?400 |}}
Então vamos botar a mão na massa! Quando a reta intersecta o gráfico em dois pontos  $   x=a, x=b   $(lembrem que apenas estamos considerando  $  x \geq  0   $) temos  $  V(a)=V(b)   $ e portanto

$  45a^2 - 2a^3 = 45b^2 -2b^3   $

rearranjando a equação acima temos:

$  45a^2 - 45b^2 = 2a^3 -2b^3   $

agora com uma pitada de álgebra básica concluímos:

$  45(a-b)(a+b) = 2(a-b)(a^2 + ab + b^2)   $

Bem, vamos dividir os dois lados da equação por  $   a-b   $. Podemos dividir? Sim, uma vez que  $  a \neq b    $. Beleza! Teremos:

$  45(a+b) = 2(a^2 + ab + b^2)   $.

Agora vem o "pulo do gato Fermat"!  Neste momento, após de ter cancelado  $  a-b   $ dos dois lados da equação, ele vem e coloca  $  a=b   $ para achar o valor de tal ponto onde obteremos o máximo!

$  45(2a) = 2(a^2 + a^2 + a^2)   $ e portanto  $  90a = 6a^2   $ e o valor aceito será

$  a=15   $.

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====== Viva Fermat! ======

</WRAP>

Mas será que o Fermat fez algo ilegal? humm

Não! De fato para  $  a   $ muito próximo a  $  b   $ teremos

$  90a \sim 2(a^2+a^2+a^2)     $. Em seguida, trocamos o símbolo de aproximação por igualdade! Ai, estmaos usando algum argumento de continuidade.

Edit summary

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