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====== Derivada ======

A noção de derivada foi consolidada nos trabalhos de Leibniz e Newton. A noção de derivada foi bem estabelecida quando a noção de números reais foi rigorosamente compreendida. O cálculo de velocidade instantâneo foi uma das necessidades que implicaram busca pela definição rigorosa de derivada.

Velocidade média: Vamos considerar uma partícula que move numa reta (considere reta dos números reais). A posição da partícula no tempo  $ t  $ é uma função de  $ t  $ que denotamos por  $ f(t)  $.  A velocidade média entre tempo  $ t_1  $ e  $ t_2  $ é dada por

Se o movimento for uniforme (velocidade constante) então a distância percorrida sempre é igual a velocidade média (número constante) multiplicado por tempo percorrido. Porém se a velocidade não for constante (considere um objeto em queda livre!) precisamos de analisar mais detalhadamente o movimento. Lembrem de Galileo e seus esforços para entender estes movimentos, enquanto ainda não existia cálculo diferencial!

Como definir a velocidade no exato momento t ?

Se na definição de velocidade média (* acima) substituirmos  $ t_1 = t  $ e escolhermos  $ t_2  $ muito próximo a  $ t  $ então obteremos a velocidade média num intervalo muito curto, porém ainda não temos a velocidade no exato momento  $ t  $. Se substituirmos  $ t_1=t_2=t  $ temos um problema sério! (zero dividido por zero que não faz nenhum sentido!)

A saída honesta é calcular limite!

Vamos definir a velocidade no momento  $ t  $ como

$ \lim_{s \rightarrow t} \frac{f(s)-f(t)}{s-t}$

que é o mesmo que

$ \lim_{h \rightarrow o} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

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<WRAP  round help 20%>
Exercício
</WRAP>

(* veja fim desta página para solução) Como um bom exercício mostrem que se o limite acima existir então o limite abaixo existe e coincide com a velocidade instantânea no momento  $ t$:

$ \lim_{h \rightarrow o} \frac{f(t+h)-f(t-h)}{2h}$

Entretanto observem que mesmo que o limite neste exercício existir, a função pode não ser diferenciável no ponto $t.$ Por exemplo a função $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x) = 1, x \neq 0$ e $f(0)=0$ não é nem contínua (portanto não tem derivada) em $t=0$, entretanto $ \lim_{h \rightarrow o} \frac{f(h)-f(-h)}{2h}=0.$
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Dado um ponto  $ a  $ no interior do domínio da função  $ f  $ denotamos por  $ f^{'}(a)  $, a derivada da função no ponto  $ a  $,  o limite abaixo (se existir!)

$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}  $

Exemplo: Calcule  $ f^{'}(a)  $ se $ f(x)= Ax + B  $.

neste exemplo vamos calcular a derivada da função linear.

$ f^{'}(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}= \lim_{x \rightarrow a} \frac{(Ax+B)-(Aa+B)}{x-a} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{A(x-a)}{x-a} = A.  $

portanto a derivada da função linear é constante, ou seja não depende do ponto  $ a  $ onde estamos calculando a derivada!  Isto deve lembrar movimento com velocidade constante na reta.

Exemplo: Vamos calcular a derivada de  $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}  $ com regra  $ f(x)=cx^n  $.

Dado um ponto  $ a  $ pela definição

$ f^{'}(a)= \lim_{x \rightarrow a} \frac{cx^n - ca^n}{x-a}   $

$ = \lim_{x \rightarrow a} c \frac{x^n -a^n}{x-a}  $

$ = \lim_{x \rightarrow a} c(x^{n-1}+x^{n-2}a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1})  $

$ = cna^{n-1}  $.

Portanto concluímos que  $ f^{'}(x)=cnx^{n-1}.  $

===== Reta Tangente=====

Considere uma curva no plano e um ponto  $ A  $ na curva. Como definimos uma reta tangente a curva no ponto  $  A?  $

Se pararmos para pensar, observamos que não é trivial dar uma definição simples. por exemplo: A reta tangente é aquela que intersecta a curva apenas no ponto  $ A  $. Isto não é correto.

ou mesmo: A reta tangente é aquela que a curva, localmente, fica "apenas num lado" da reta. Pense!

A necessidade da definição rigorosa da reta tangente veio de vários problemas, incluindo problemas da física (por exemplo na reflexão de raio de luz).

Para definir a reta tangente no ponto  $ A  $ consideramos uma sequência de pontos  $ A_n  $ na curva que "convergem" a  $ A  $. Agora consideramos as retas  $ AA_n $ (reta que passa pelos pontos  $ A, A_n  $) e definimos a reta tangente como limite da sequência das retas  $ AA_n  $.

<color #ed1c24>Observação importante porém um pouco vago ainda: A reta tangente num ponto na curva, não depende do formato da curva "longe" do ponto A. 
</color>
Reta tangente ao gráfico de uma função:

Suponhamos que a curva considerada acima seja gráfico de uma função  $ f  $ e o ponto  $ A=(x_0, f(x_0))  $. Pela definição da reta tangente concluímos que a reta tangente terá coeficiente angular

$ f^{'}(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.  $

Exemplo: Vamos calcular a equação da reta tangente a curva dada pela equação

$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}=1  $ no ponto  $ A= (2, -\frac{3\sqrt{3}}{2}).  $

Solução: Vamos considerar apenas um pedaço da curva que contem o ponto  $ A  $ que a podemos considera-lo como gráfico de uma função para poder utilizar cálculo!

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Observe que pela equação da curva temos

$ y = \pm \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}  $.

Assim obtemos regra de duas funções. O ponto  $ A  $ satisfaz a equação  $ y = - \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}  $ e portanto pertence ao gráfico da função com seguinte regra:

$ f(x) = - \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2}  $.

Vamos calcular a derivada da  $ f  $ no ponto  $ x=2.  $ Observem que calculamos a derivada de uma função num ponto do interior de seu domínio. Nste caso  $ x =2  $ que é a abcissa do ponto  $ A.  $

$ f^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-\frac{3}{4}  \sqrt{16-x^2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{-3}{4} \times \frac{\sqrt{16-x^2} -  2\sqrt{3}}{x-2}  $

temos intederminação (ou palavrão) do tipo  $ \frac{0}{0}  $. Multiplicamos o denominador e numerador por expressão  $ \sqrt{16-x^2} +  2\sqrt{3}  $ e obteremos

$ f^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2}( \frac{3}{4} \times \frac{x+2}{\sqrt{16-x^2} +  2\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3}}{4}.  $

Portanto a equação da reta tangente é

$ y+ \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} (x-2).  $

Exemplo de função que não tem derivada:

Considere a função com regra  $ f(x) = |x|  $ e verifique se  $ f  $ tem derivada no ponto  $ x=0.  $

Precisamos verificar se o seguinte limite existe:

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x}  $

Este limite não existe, pois  $ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x}=1  $ enquanto  $ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x}=-1  $. Portanto a função  $ f  $ não é diferenciável no ponto  $ x=0.  $

A função  $ f  $ acima é contínua no ponto  $ x=0  $ como anteriormente tinhamos provado. Porém acabamos de demonstrar que não tem derivada neste ponto.

<color #7092be>Sim, isto que estão pensando é correto! Toda função quando tem derivada num ponto então é contínua naquele ponto, porém a recíproca não é verdade necessariamente como no exemplo acima. Provaremos este fato em outras aulas.</color>

Porém em qualquer outro ponto  $ x \neq 0  $ a derivada existe. De fato se  $  x > 0  $ então  $ f^{'}(x)=1  $ e para  $ x < 0  $ temos  $ f^{'}(x) = -1.  $

muito informalmente falando: a função não tem derivada nos pontos onde o gráfico da função tem um bico!

Exemplo: Verifique se a função  $ f(x)= [x]  $ é diferenciável em algum ponto de seu domínio. Calcule a derivada.

Uma piada: Voce sabia por que a derivada de  $ h  $ não tem derivada?

Outro Exemplo (sem bico e sem derivada): Vamos ver uma função que não tem derivada.  $ f(x)=x^{\frac{1}{3}}.  $ Podemos verificar que  $ f  $ no ponto  $ x=0  $ não tem derivada.

$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}  $

e o limite acima não existe. Lembrem que <color #ed1c24>"infinito não é um número!"</color>

Neste caso, a função não tem bico no ponto onde não é diferenciável. De fato a reta tangente é vertical! <color #22b14c>Azar dela! veja o gráfico dela!</color>
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(*) Sobre exercício proposto:

Se  $ f  $ for diferenciávle no ponto  $ a  $ então o seguinte limite existe e coincide com a derivada  $ f^{'}(a).  $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}  $.

<color #ed1c24>Porém, se este limite existir, a função pode não ser diferenciável no ponto  $ x=a  $</color>

Vamos denotar  $ b:=a-h   $ e portanto

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} = \lim_{b \rightarrow a} \frac{f(2a-b) - f(b)}{2(a-b)}   $

$ = \lim_{b \rightarrow a} \frac{f(2a-b) - f(a)}{2(a-b)} + \frac{f(a) - f(b)}{2(a-b)}   $

$ = \frac{f^{'}(a)}{2} + \frac{f^{'}(a)}{2} = f^{'}(a).  $

Agora vamos mostrar que a recíproca não é verdadeira. Considere a função com regra

$ f(x)=1  $ se  $ x\neq 0  $ e  $ f(0)=0.  $ Podemos mostrar que a derivada no ponto  $ x=0  $ não existe. Porém

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(-h)}{2h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{h} = 0.  $

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